مدیریت دسترسی به منابع اطلاعات یکی از مسائل مهم در حوزه ی رمزنگاری است. این مسئله دارای جوانب متعددی است که یکی از آن ها ردیابی خائن یا خائن هایی است که امکان دسترسی افراد غیر مجاز به اطلاعات را فراهم می کنند. در این پایان نامه به بررسی روش های ردیابی خائن یا خائن هایی که کلید خصوصی خود را در اختیار افراد غیرمجاز قرار داده اند خواهیم پرداخت. روش های بررسی شده در این پایان نامه عبارت است از روش مبتنی بر الجمال، روش مبتنی بر $rsa$ و روش های مبتنی بر نگاشت های دو خطی و امنیت آن ها نسبت به حملات متفاوت نظیر حمله ی خطی و حمله ی مبهم مورد بررسی قرار می گیرد.

در این پایان نامه برخی نگاشت های آشوبی و اتوماتای سلولی آشوبی معرفی می شوند. همچنین به بعضی ویژگی های مهم، از جمله آنتروپی توپولوژیک و ارگودیک بودن پرداخته می شود. بخصوص به اتوماتای سلولی قاعده 119 و همچنین نگاشت های گربه در نظر گرفته می شوند. ضمن مقایسه این اتوماتای سلولی با سایر اتوماتاها، کاربرد آن ها در رمزنگاری ذکر خواهد شد. همچنین ضمن ساخت نگاشت های گربه با ابعاد بالا، کاربرد آن ها در رمزنگاری تصویری بیان خواهد شد.

محاسبه مسئله لگاریتم گسسته خم های بیضوی در بسیاری از سیستم های رمزنگاری کلید عمومی دارای اهمیت فراوانی است، زیرا امنیت بسیاری از سیستم های رمزنگاری کلید عمومی از جمله تبادل کلید دیفی-هلمن، امضاء دیجیتال ‎ecdsa‎ و غیره، بر سخت بودن محاسبه مسئله لگاریتم گسسته خم های بیضوی استوار است. امنیت این سیستم ها براساس پیچیدگی زمانی بهینه ترین الگوریتمی که مسئله لگاریتم گسسته خم های بیضوی را محاسبه می کند، سنجیده می شود‎. در حال حاضر الگوریتم پلارد رو و نسخه های بهبود یافته آن یکی از موثرترین و کارآمدترین الگوریتم های عمومی برای محاسبه مسئله لگاریتم گسسته خم های بیضوی می باشد. هدف ما در این پایان نامه بررسی روش ها و تکنیک های جدید در جهت بهبود و افزایش سرعت محاسبه مسئله لگاریتم گسسته خم های بیضوی با استفاده از الگوریتم پلارد رو می باشد. در این پایان نامه، یک تابع تکرار جدید برای الگوریتم پلارد رو با استفاده از روش کارآمد نصف کردن نقطه را معرفی خواهیم کرد. این روش جدید، سرعت محاسبه مسئله لگاریتم گسسته خم های بیضوی را به طور کارآمدی بهبود می بخشد. به عنوان مثال، برای برخی خم های بیضوی دودویی توصیه شده توسط ‎nist‎ این روش تقریبا ‎12-17‎ درصد سریع تر از روش های قبلی می باشد. همچنین با استفاده از قرینه نقطه و کاربرد آن در الگوریتم پلارد رو یک تابع تکرار کارآمد برای محاسبه مسئله لگاریتم گسسته خم بیضوی معرفی می شود

تجزیه اعداد، یکی از بیشترین مسائل مورد مطالعه در نظریه الگوریتمی اعداد و رمزنگاری می باشد. روش ‎‏‎تجزیه اعداد با استفاده از خم های بیضوی‎ ‎‎(ecm)‎‎، که به روش لنسترا‎ ‎‎معروف است، در حال حاضر، یکی از بهترین روش ها برای تجزی? اعداد است. شکل های مختلفی از خم های بیضوی مورد مطالعه و بررسی قرار گرفته اند، که می توان به خم های سویاما‏، خم های مونت گومری‏، خم های ادواردز‎ و خانواده های توسیع یافت? خم های ادواردز اشاره کرد، که مورد اخیر از جدید ترین و بهترین نوع خم های بیضوی می باشند. ‏‎روش ‎ecm ‏، ‎نقش ‎مهمی ‎را ‎برای ‎تجزیه ‎اعداد ‎تصادفی ‎ایفا ‎می کند ‎که ‎مورد ‎علاقه ‎دانشمندان ‎نظریه ‎اعداد ‎است. ‎همچنین ‎این ‎روش ‎کاربرد ‎زیادی ‎برای ‎تجزیه ‎اعداد ‎از ‎اندازه ‎متوسط و ‎بزرگ‎ دارد و از این لحاظ مورد علاقه دانشمندان رمزنگاری است. ‎بهترین رکورد ثبت شده روش ecm ‎‏، کشف عامل 274 بیتی از عدد 947 بیتی 7^337+1 ‎است که در سال 2013 به دست آمده است. اطلاعات بیشتر درباره تمام رکوردهای ثبت شده روش تجزیه ‎ecm ‎در ‎سایت‎ http://www.loria.fr/~zimmerma/records/ecmnet.html قراردارد. ‏بسیاری از تحلیل ها و بررسی های صورت گرفته برای پیشرفت روش‎ecm ‎‏، استفاده از نقاط و گروه های ‎q‎‏-تاب دار خم های بیضوی می باشد که ‎‎‏در این روش‏ مورد استفاده قرار می گیرند. در فصل پایانی این کار‏، به بررسی کامل روش ‎ecm ‎‏ دو مرحله ای پرداخته شده است. همچنین پارامتری سازی هایی که توسط مونت گومری و اتکین و موراین‏ برای خم های ادواردز برای بررسی گروه های q -تاب دار یک ریخت با z_12‎ و z_2 × z_8 معرفی شده اند‏، بیان شده است. پیاده سازی هایی برای روش ‎ecm ‎انجام ‎گرفته است‎‏، که می توان به نرم افزار gmp-ecm ‎اشاره کرد. ‎در ‎این ‎پایان نامه‏، ‎پیاده سازی‎‎ ‎ecm ‏، ‎با ‎استفاده از ‎کتابخانه ‎محاسباتی‎ ‎ mpf_q (‎mpfq‎) و‎ ‎با ‎استفاده از ‎خم های ‎ادواردز‎‏، تحت عنوان نرم افزار ‎eecm-mpfq ‎بیان شده است.‎ با استفاده از پارامتری سازی های گفته شده‏، درصد موفقیت پیاده سازی روش ‎ecm ‎‏ با استفاده از نرم افزار ‎eecm-mpfq‎‎ ‏‎‎مورد‎ بررسی قرار گرفته است. ‎البته‎ لنسترا در مقاله خود دلایل و احتمالات موفقیت روش جدید خود را بیان و اثبات نموده است و بررسی هایی که پس از لنسترا توسط سایرین انجام گرفته است‏، برای بهبود روش ‎ecm ‎‏‏، افزایش کارایی‏، پیداکردن بهترین پارامترها و خم ها برای این روش می باشد.‎

در سیستم ها ی رمزنگاری که بر اساس خم های بیضوی می باشند،هسته ی اصلی محاسبات، محاسبه ی ضرب عددی یک نقطه از خم است. از این رو پژوهشگران در طی سال های گذشته همواره در پی افزایش سرعت محاسبه ی آن بوده اند. در این پایان نامه روشی را برای محاسبه ی ضرب عددی یک نقطه از خم بیان خواهیم کرد که با در نظر گرفتن تجزیه ی دو بعدی آن با استفاده از مشبکه ها و درون ریختی های با قابلیت محاسباتی مناسب انجام می شود. سپس روشی که تعمیمی از این روش روی کلاس بزرگتری از خم ها می باشد گفته خواهد شد. در نهایت با ترکیب این دو روش، یک تجزیه ی چهار بعدی از محاسبه ی ضرب عددی یک نقطه از خم با استفاده از دو درون ریختی با قابلیت محاسباتی مناسب بدست خواهیم آورد. این روش در عمل نسبت به تجزیه ی دو بعدی، محاسبه ی ضرب عددی یک نقطه از خم را تا 1.5 برابر سریعتر انجام می دهد.