موضوع فرش کردن1یکی از زیرمجموعه های مهم علم ترکیب بندی2 است که در آن سعی می شود یک سطح (محدود یا نامحدود) با استفاده از اشکال مختلف هندسی طوری پوشانده شود که سطح پوشش داده شده حفره نداشته و اشیاء استفاده شده هم پوشانی نداشته باشند. حالت خاصی از فرش کردن مسئله کاشی کاری3 است که موضوع این پایان نامه است. در مسئله کاشی کاری هدف پوشش یک سطح یا صفحه (بی نهایت) با استفاده از مربع هایی با طول اعداد طبیعی و دوبه دو متمایز است. در این راستا تمرکز بر روی امکان پوشش یک سطح مستطیلی یا صفحه توسط مجموعه هایی از اعداد طبیعی (به عنوان طول ضلع مربع ها) است. در این پایان نامه به بررسی حالت های خاصی از مجموعه هایی از اعداد طبیعی خواهیم پرداخت که تعداد اعداد فرد موجود در آن محدود و تعداد اعداد زوج نامحدود است. همچنین در این رساله قضایایی در مورد امکان یا عدم امکان کاشی کاری با زیر مجموعه ای از اعداد طبیعی که اعضای آنها متمایز هستند، بررسی خواهد شد. این مجموعه ها که نشان دهنده طول ضلع مربع ها هستند، شامل تعداد مشخصی از اعداد فرد است. در این پایان نامه حالت های خاصی از مسئله مورد بررسی قرار گرفته و امکان یا عدم امکان پوشش صفحه بی نهایت و مستطیل مطالعه می شود.