قضیه ی بهترین نقطه ی تقریب، وجود نقطه ای مانند x را بررسی می کند که d(x,tx) برابر است با d(a,b) که t یک نگاشت غیرخودنگار از a به توی b است. هدف این پایان نامه بیان قضایای بهترین نقطه ی تقریب برای نگاشت های انقباض دوره ای و انقباض های تقریبی است که با استفاده از آن ها می توان برای برخی مسائل نقطه ی ثابت، جواب بهینه ی تقریبی به دست آورد. در واقع اگر نگاشت t خودنگار باشد، بهترین نقطه ی تقریب همان نقطه ی ثابت است. بنابراین قضیه ی بهترین نقطه ی تقریب قضیه ی نقطه ی ثابت را تعمیم می دهد. به علاوه قضایای بهترین زوج تقریب برای برخی توابع مجموعه مقدار در فضاهای نرم دار و فضاهای هیلبرت اثبات خواهد شد. همچنین برای مسئله ی بهینه سازی برداری جواب شبه موثر خواهیم یافت. چهار رده از توابع به نام های توابع محدب نمای نوع اوّل و دوم و توابع شبه محدب نوع اول و دوم را معرفی می کنیم. از این مفاهیم در مسئله ی بهینه سازی برداری برای به دست آوردن شرایط کافی بهینگی و وجود جواب شبه موثر استفاده خواهیم کرد.