فرض میکنیم r حلقه ای تعویض پذیر یکدار و (z(r یک مجموعه از مقسوم علیه های صفر r باشد . گراف مقسوم علیه های صفر (?(r گرافی است که راس های آن عضو{z*(r) =z(r) {0 می باشند؛ دو راس متمایز x,y متعلق به مجاور هستند اگر وتنها xy=0 . حال چون صفر یک ایدآل از r می باشد، با تعویض ایدآل صفر در r با یک ایدآل دلخواه مانند i ازr ، گراف (? i(rایجاد می شود که راس های آن همه عناصر مجموعه ی {x?ri|xy?i;y?ri} هستند و دو راس متمایز x , y در صورتی مجاور هستند که xy?i. هدف بررسی گراف (? i(r ، جایی که r یک حلقه تعویض پذیر یکدار و i ایدآلی از آن است . همچنین رابطه بین (? j(s)? ? i(r با (?(s/j)? ?(r/i و گرافهای چند بخشی را نیز بررسی می کنیم و در آخر نتایجی روی زیر گرافها و پارامترهای گراف (?(r را بدست می آوریم .