در این پایان نامه ابتدا حلقه ها تبادلی و خاصیت برد پایدار یک را معرفی می کنیم. سپس حلقه های تبادلی با برد پایدار یک را دسته بندی می نماییم. علاوه بر این ثابت می کنیم حلقه تبادلی r برد پایدار یک دارد اگر و تنها اگر برای هر عضو منظمa از حلقه r خودتوان e و یکه u از حلقه r موجود باشد به طوری کهa=e+u واشتراک ar و er صفر می باشد. همچنین نشان می دهیم حلقه تبادلی r برد پایدار یک دارد اگر و تنها اگر برای هر عضو منظم a از حلقه r عضو های t و u موجود باشد به طوری کهa=t+u که درآن t پوچساز a و u یکه حلقه r است. در پایان می بینیم حلقه تبادلی r برد پایدار یک دارد اگر و تنها اگر برای هر عضو منظم a و b از حلقه r اگر r/ar یکریخت با r/br باشد آنگاه ar با br یکریخت است.