برگمن نشان داد که رادیکال جیکوبسن حلقه های مدرج (یا به طور کلی حلقه های مدرج)، همگن است. این پایان نامه اثبات می کند که نتیجه ی مشابه ای برای رادیکال پوچ برقرار است، یعنی رادیکال پوچ حلقه های ‎ مدرج نیز همگن است. به طور واضح زیر حلقه ای از حلقه ی پوچ، پوچ است اما به طور کلی نمی توان بیان کرد زیر حلقه ای از حلقه ی رادیکال جیکوبسن، رادیکال جیکوبسن است. در این پایان نامه نشان داده می شود که زیر حلقه ای از حلقه های مدرج که به وسیله ی عناصر همگن تولید شده است، حلقه ی رادیکال جیکوبسن می باشد. همچنین نتایج مهم دیگری نیز روی حلقه های پوچ-مدرج حاصل می گردد. نشان داده شده عناصر جبر های رادیکال جیکوبسن مدرج، همگن و پوچ توان هستند. اما بررسی این مطلب که نشان دهد ‎«‎آیا جبرهای مدرجی که همه ی عناصر همگن آن پوچ توان می باشند، رادیکال جیکوبسن هستند‎؟‎‎»‎ هنوز صورت نگرفته است. نتیجه ی زیر تعمیمی برای مقایسه ی این دو است. فرض کنید r ‎جبر مدرج تولید شده از درجه ی یک باشد. اگر برای هر‎ n ‎طبیعی، عناصر جبر ماتریس های ‎ n*n روی ‎ r ‎، همگن و پوچ توان باشند، آنگاه ‎ r ‎ رادیکال جیکوبسن است.