با استفاده از یک قانون کنترل بهینه، قانون دیگری را برای همسازی بهینه دو سیستم لورنز با پارامترهای مجهول ارائه می دهیم. این قانون را در مورد سیستم های لورنز با مشتقات مرتبه کسری بررسی می کنیم. همسازی در سیستم های مرتبه کسری دیرتر اتفاق می افتد.

مسئله ی مقدارمرزی واولیه برای یک معادله ی ویسکوالاستیک باجملات میرایی ومنبع غیرخطی بردامنه یی کراندار درنظرگرفته شده است. نزولی بودن انرژی جواب این مسئله تحت شرایطی روی تابع سکون وداده ی اولیه بحث شده است.

همسازی سیستم های آشوبناک از مرتبه معمولی و کسری علاقه ی بسیاری از محققین را در زمینه ی ارتباط محرمانه در سیستم های آنالوگ و دیجیتال به خود جلب نموده است. بدین منظور ما در این پایان نامه به ارائه یک روش کنترل فعال برای همسازی دو سیستم آشوبناک از مرتبه ی معمولی و کسری با پارامترهای معین و نامعین می پردازیم و تاثیر روش کنترل در همسازی دو سیستم یکسان و متفاوت را مورد بررسی قرار می دهیم. در واقع هدف ما بدست آوردن توابع کنترل مناسب برای به پایداری رساندن سیستم خطای حاصل از تفاضل دو سیستم آشوبناک اصلی و وابسته می باشد. در انتها به بررسی سیستم های آشوبناک از مرتبه کسری پرداخته و رابطه ی بین مرتبه کسری و همسازی در سیستم های دینامیکی آشوبناک متفاوت را مورد تحلیل و بررسی قرار می دهیم. در این راستا مشاهده خواهیم کرد که با میل کردن مرتبه کسری به سمت یک سیستم خطا سریعتر به پایداری رسیده و همسازی با سرعت بیشتری رخ می دهد

در این پایان نامه به بررسی دستگاه مستقل از زمان لورنز که یک دستگاه سه بعدی و غیر خطی می-باشد، می پردازیم. با تغییر روابط بین پارامترهای دستگاه، رفتارهای مختلفی که نقاط تعادل دستگاه از خود نشان می دهند را بررسی می کنیم. سپس با انتخاب یک پارامتر مناسب انشعاب، نشان می دهیم که یک انشعاب هاف در این دستگاه اتفاق می افتد. به همین منظور ابتدا دستگاه های معادلات دیفرانسیل به عنوان یک دستگاه پویا را بررسی می کنیم. سپس مشتق و انتگرال از مرتبه ی کسری را معرفی و در نهایت در فصل چهارم دستگاه معادلات دیفرانسیل لورنز را بصورت یک دستگاه معادلات با مشتقات مرتبه کسری تبیین می-کنیم. سپس این دستگاه را به کمک فرمول گرونوالد -لتنیکوف برای حل عددی مشتقات مرتبه کسری گسسته سازی کرده و دستگاه گسسته شده را با استفاده از نرم افزار matlab حل می کنیم. همچنین با استفاده از نرم افزار matlab نتایج حاصل از مثالهای عددی را به صورت نمودار ارائه می نماییم. مطالعات انجام شده بر اساس مقاله ی hopf bifurcation in the lorenz-type chaotic system می-باشد که توسط zhenya yan نوشته شده است و در مجله chaos solitons & fractals در سال 2007، جلد 31 در صفحات 1135-1142 به چاپ رسیده است.

تجزیه و تحلیل تراکنش بین سلول های ایمنی بدن و واکسیناسیون جهت درمان سرطان به وسیله یک مدل ریاضی تبیین شده توسط مشتقات مرتبه کسری در این تحقیق یک مدل ریاضی جهت تبیین تراکنش بین سلول های ایمنی و غده سرطانی، که به صورت یک دستگاه دینامیکی است، را مورد تجزیه و تحلیل قرار می دهیم. در این مدل تأثیر سلول های سیستم ایمنی بدن و برهم کنش بین آن ها بر روی دوره های نهفتگی و بازگشت بیماری سرطان مورد توجه قرار می گیرد. همچنین در این مدل دلایل مربوط به رشد و یا جلوگیری از رشد سلول های سرطانی بررسی می شود. و یک دلیل قابل قبول برای اینکه چرا گاهی اوقات روش های درمان سرطان به جای جلوگیری از پیشرفت بیماری، باعث تشدید آن می شود را ارائه می دهیم. لازم به ذکر است که مطالعات انجام شده در این پایان نامه بر اساس مقاله "on immunotherapies and cancer vaccination protocols: a mathematical modelling approach" نوشته badal joshi و همکاران، چاپ شده در journal of theoretical biology شماره 259 سال 2009، صفحات 827-820 می باشد. برای بررسی مدل مورد بحث پس از بی بعدسازی دستگاه و گسسته سازی آن به وسیله روش های عددی جواب تقریبی آن را به دست می آوریم. سپس با رسم نمودارهای مربوط به مقادیر اولیه مختلف سلول های ایمنی و مقادیر مختلف پارامترها نتایج قابل توجهی از واکنش طبیعی سیستم ایمنی بدن بر روی بیماری سرطان مشاهده می شود. همچنین با توجه به ویژگی های مشتقات مرتبه کسری نسبت به مشتقات مرتبه صحیح، از جمله خاصیت غیرموضعی بودن آن، به بررسی این دستگاه با مشتقات مرتبه کسری می پردازیم. به نظر می رسد در این مسئله نتیجه جالبی نداشته است که ممکن است به دلیل خطای ما در پیاده سازی روش های حل عددی مشتقات مرتبه کسری و یا سخت بودن دستگاه باشد.

جبر خطّی شاخه ای از ریاضیات است که به بررسی و مطالع? ماتریس ها، بردارها، فضاهای برداری (فضاهای خطّی)، تبدیلات خطی، و دستگاه های معادلات خطی می پردازد. در جبر خطی، الگوریتم svd یک تجزیه از ماتریس حقیقی یا مختلط با کاربردهای فراوان و مفید در پردازش سیگنال و آمار است. الگوریتم svd یک تکنیک برای تجزیه یک ماتریس به ضرب سه فاکتور می باشد. روش ژاکوبی یکی از اولین الگوریتم ها جهت اجرایی کردن svd می باشد، که یک ماتریس مستطیل شکل را به یک ماتریس قطری با استفاده از دنباله ای از چرخش های ابتدایی کاهش می دهد