در سال 1904‎‏ ‎‎پوانکاره ‎ پرسشی را مطرح می کند‏، کره ی سه بعدی تنها منیفلد بسته ای است که در آن هر کمند‎ می تواند به یک نقطه انقباض ‎ پیدا کند‏، این پرسش دارای جواب مثبتی است و به حدس پوانکاره معروف است.‎ ‎در 1980‏ ‎‎ترستن ‎نشان داد که کلاس بزرگی از منیفلدهای سه بعدی‏، هذلولوی هستند. در همین زمان او حدسی هندسی برای تمامی منیفلدهای سه بعدی ارائه می دهد که حدس پوانکاره یک حالت خاص آن است. ‎ اثبات حدس پوانکاره در پی اثبات حدس ترستن در سال 2003 توسط پرلمان صورت گرفت.‎ ‎در سال 1982 ‎‎ ترستن قضیه ی هندسی سازی را برای اُربیفلدهای سه بعدی بیان می کند. نظریه ی اُربیفلدها در زمینه های مختلف ریاضیات نظیر هندسه دیفرانسیل‏، جبر و توپولوژی بسیار مورد توجه است.‎‎ ‎ اُربیفلدها دارای تاریخچه ای طولانی هستند که برای اولین بار در توپولوژی و هندسه دیفرانسیل توسط ‎‎ ساتاکه ‎ در سال 1950 ‎‎‎‎‎‎‎‎‎ به نام منیفلدهایی با فضای اصلی مدولی بیان شد. او اُربیفلدها را به عنوان فضاهای توپولوژیکی که تعمیم منیفلدها هستند‏، معرفی کرد. در سال 1970 ویلیام ترستن‏، از ‎ ‎v‎ ‎‎- منیفلدها برای کار بر روی رده بندی هندسی اُربیفلدهای سه بعدی استفاده کرد.‎‎‎‎ ‎ ‎‎در سال 1976‏، ویلیام ترستن تصمیم می گیرد که کلمه ی جدیدی را جایگزین ‎ ‎v‎‎‎- منیفلدهای ساتاکه کند. اولین انتخاب وی ‎ ‎manifolded‎ ‎ و انتخاب بعدی کلمه ی ‎ ‎foldimani‎ ‎ بود که خیلی مورد پسند عام نبود بنابراین‏، تصمیم می گیرد که برای انتخاب یک نام مناسب از پیشنهادات مردم استفاده کند که در این میان کلمه ی پیشنهادی ‎ ‎orbifold‎ ‎ توسط بیل برودرانتخاب می شود. امروزه ‎ ‎v‎ ‎‎- منیفلد را با نام ‎‎‎اُربیفلد می شناسند‎.‎‎ ‎در واقع مفهوم اُربیفلدها تعمیمی طبیعی از منیفلدها است. می دانیم یک منیفلد به صورت موضعی با بازهایی از فضای ‎‎ ‎اقلیدسی ‎ r^nهومئومورف است اما یک اُربیفلد با فضای خارج قسمتی ایجادشده توسط عمل موثر یک گروه متناهی از دیفئومورفیسم ها روی زیرمجموعه های باز فضای اقلیدسی ‎n‎ بعدی r^n‎می باشد. ‎به جهت بهره مندی بیشتر از این پژوهش‏، در فصل اول مفاهیم پایه بیان و‎‎ ‎‎در فصل دوم به معرفی شبه گروه و g- منیفلدها‎‏،ساختارهای هندسی و رده بندی هندسی‎ منیفلدها از دیدگاه ترستن پرداخته‎‎‎‎ شده است. ‎ در فصل سوم اُربیفلدهای دو بعدی و رده بندی هندسی آن ها معرفی‎ شده اند و ‎‎‎‎ ‎‎در بخش‎‎ ضمیمه نگاهی اجمالی بر زندگی پوانکاره‏، ترستن و پرلمان شده است تا آشنایی بیشتری با این بزرگان علم هندسه و تأثیر ژرف آن ها بر این علم صورت پذیرد.

‏در این پایان نامه‏، ‏ابتدا مفاهیم سیستم های دینامیکی‏، مجموعه های مینیمال‏، مجموعه های ‎$ -‎omega‎ $‎حدی‏، ‏تعدی و خاصیت سایه زنی برای شارها را معرفی می شود. در نهایت‏، خاصیت سایه زنی مجانبی میانگین روی شارها بیان شده و رابطه بین این خاصیت و متعدی بررسی شده و نشان داده می شود که یک شار روی فضای متریک فشرده‏، یک زنجیر متعدی است اگر دارای خاصیت سایه زنی مجانبی میانگین مثبت (منفی) باشد. شار دارای ساختار لیاپانوف پایدار مثبت (منفی)‏، یک زنجیر هم ارزی توپولوژیکی است و دارای خاصیت سایه زنی مجانبی میانگین است.‏‎‎ ‎

موضوع محوری این پایان نامه بررسی برخی از تقارن ها در معادلات دیفرانسیل است. به معرفی مقدماتی از گروه و جبر لی و فضای جت و امتداددهی پرداخته ایم. در ادامه نگاهی کلی به تقارن ها و جواب های معادلات دیفرانسیل( معمولی و مرتبه ی اول )وحل معادلات دیفرانسیل باتقارن های لی داشته ایم. تقارن های دقیق وشرطی ومفاهیم مختلف بین آن ها ودرنهایت تقارن های غیر کلاسیک وتقارن های پنهان نوع ii به همراه مثال هایی بررسی شده اند. کلمات کلیدی: معادلات دیفرانسیل، جواب های دقیق، عمل گروه، کاهش مرتبه، جواب های ناوردا،تقارن های پنهان، تقارن های دقیق، تقارن های غیر کلاسیک، تقارن های شرطی.