فرض کنیم ‎φ یک اتومورفیسم از گروه ‎g باشد. در این پایان نامه مرکزساز ‎φ‎ در ‎g‎ به صورت ‎cg(φ) = {x ∈ g∣φ(x) = x}‎ و جابجاگر ‎φ‎ در ‎g را با نماد [‎[g,φ نشان داده و به صورت ‎[g,φ] = ⟨x−1φ(x)∣x ∈ g⟩‎ تعریف می کنیم. در فصل ‎2‎ عمل(‎cg(φ روی زیرگروه جابجاگر[‎[g,φ را وقتی که ‎g چنددوری یا متاآبلی باشد مورد بررسی قرار داده ایم. نتایج مهمی که بر اساس این عمل به دست می آید عبارتند از :‎ قضیه ‎(1)‎ : اگر ‎φ یک اتومورفیسم از مرتبه ‎2‎ از یک گروه چنددوری ‎g‎ و (‎cg(φ متناهی باشد آنگاه ′[‎[g,φ نیز متناهی است. ‎‎ قضیه ‎(2)‎ : اگر ‎φ یک اتومورفیسم از یک گروه چنددوری ‎g‎ و(‎cg(φ متناهی باشد آنگاه[‎‎ g/[g,φنیز متناهی است‎.‎ قضیه ‎(3)‎ : اگر ‎φ‎ یک اتومورفیسم از مرتبه متناهی از گروه چنددوری ‎g باشد آنگاه اندیس [‎cg(φ)[g,φ در ‎g‎ متناهی است.