در این پایان نامه ابتدا به بررسی الگوریتم کلید عمومی مبتنی بر چند جمله ای های چبیشف روی اعداد حقیقی پرداخته می شود. این الگوریتم امنیت جندانی ندارد و مورد حمله قرار می گیرد. که به بررسی این حمله می پردازیم سپس این الگوریتم از میدان اعداد حقیقی به میدان متناهی توسعه داده می شود که امنیت بیشتری دارد اما با این وجود باز هم مورد حمله بر اساس تحلیل تناوب چندجمله ای های چبیشف قرار می گیرد. سپس الگوریتم کلید عمومی از میدان متناهی به حلقه متناهی z_n توسعه داده میشود که امنیت این االگوریتم بستگی به انتخاب n دارد. اگر n بدرستی انتخاب شود دوره تناوب دنباله تولید شده توسط چندجمله ای های چبیشف به اندازه کافی بزرگ است تا از حمله جستجوی فراگیر در امان باشند. سر انجام یک الگوریتم کلید عمومی جدید مبتنی بر چند جمله ای های چبیشف نوع اول و دوم مطرح میشود با توجه به اینکه چند جمله ای های چبیشف نوع دوم متناوب نیستند، لذا نسبت به حمله های مبتنی بر دوره تناوب مقاوم می باشد.