نانولوله کربنی تک جداره از غلتانیدن گرافین در راستای بردار کایرال بدست می آید. عمل تقارنی گرافین که بعد از غلتانیده شدن، یک عمل تقارنی برای نانو لوله متناظر باشند، گروه تقارنی نانولوله را تشکیل می دهند. در این سخنرانی یک مدل ریاضی ارایه می شود کا با استفاده از آن گروه تقارنی لوله های بدست می آید. مجموعه مدل مورد نظر برای نانولوله، با بردار کایرال است. تبدیل های با ضابطه های به ازای هر بردار انتقال تبدیل های تقارنی مدل ارایه شده هستند. با استفاده از یک نمایش -تحویل ناپذیر متعامد با درجه n از گروه متناهی g و انتخاب بردار ناصفری از فضای اقلیدسی مجموعه بردارهای چسبیده که شامل پایه ای از این فضای اقلیدسی است. معرفی می شوند. با در نظر گرفتن فضای هیلبرت ، و گروه تقارنی شش ضلعی منتظم، نمایش های گروه تقارنی نانولوله کایرال بدست می آید.

در این رساله طیف، یکریختی و گروه خودریختی گراف هایی که گروه خودریختی آن ها شامل یک زیرگروه نیمه-منظم است، مطالعه شده اند.