مطالعه ترتیب های تصادفی و نامعادله ها در طول چهل سال گذشته، در زمینه های گوناگون آمار و احتمال شتاب گرفته و استفاده شده اند. برای نمونه در زمینه هایی چون قضیه ی قابلیت اعتماد‏، قضیه ی صف بندی‏، تجزیه و تحلیل بقاء، زیست شناسی، علم اقتصاد، بیمه، علوم آماری، تحقیق در عملیات و علم مدیریت به میزان قابل توجهی این مفاهیم قابل کاربرد و استفاده اند. این پایان نامه در چهار فصل تنظیم شده است. در فصل اول تعاریف و مفاهیم مقدماتی آورده شده و در فصل دوم به مقایسه های تصادفی روی توزیع نمایی با مولفه های ناهمگن پرداخته‏ ایم. در بخش اول این فصل یک کران بالا برای نرخ خطر و کران پایین برای واریانس طول عمر سیستم هایی موازی با مولفه های نمایی ناهمگن بدست آمده است. در بخش های بعدی مرتب سازی میانگین عمر باقی مانده ‏، پیچش ‏و مشخص سازی ترتیب میانگین عمر باقی مانده با مولفه های نمایی ناهمگن مورد بررسی قرار گرفته است. در فصل سه نیز به بررسی ترتیب های تصادفی روی توزیع گاما و وایبل با مولفه های ناهمگن پرداخته که در بخش اول این فصل به توصیف ویژگی های ترتیبی طول عمر سیستم های موازی با مولفه های مستقل و ناهمگن گاما در ترتیب های متفرق کننده و ستاره و در بخش دوم به مقایسه ی تصادفی آماره های ترتیبی و طول عمر سیستم های سری با مولفه های مستقل و ناهمگن وایبل پرداخته ایم. همچنین فصل آخر به مقایسه ی تصادفی طول عمر سیستم های سری و موازی با توزیع های آزاد اختصاص یافته که در بخش اول آن مقایسه ی تصادفی روی سیستم های موازی و در بخش دوم مقایسه ی تصادفی روی سیستم های سری انجام گردیده اند.