هدف ما بررسی کاملی از براکت های لی-پواسون سازگار با براکت های کانونی روی منیفلدهایe*(3) و so*(4) است. نشان میدهیم که این براکت های خطی میتوانند برای ساختارهای پیچیده تری مورد استفاده قرار گیرند و در تناظر با نوع کلاسیک آن باشند. منیفلد هموار m مجهز به یک جفت براکت پواسون {.,.} و {.,.}’ یا معادلا یک جفت تانسورهای پواسون سازگار p و p’ را منیفلد دو-هامیلتونین گویند. فرض کنیم m یک منیفلد هموار دو-هامیلتونین با تانسورهای پواسون سازگار p و p’ باشد و فرض کنیمh_0,h_1,…, h_n توابعی روی m باشند به طوری که بطور تابعی مستقل ونسبت به کروشه های پواسون سازگار باشند یعنی h_i,h_k}=0 } در این صورت اگر انتگرال گیری به مفهوم لیوویل برقرار باشد، در این صورت به چنین سیستم هایی دو-انتگرال پذیر یا سیستمهای دو-هامیلتونین تعمیم یافته گویند و به h_iها انتگرال های حرکت گوییم همچنین برای اینکه انتگرال های حرکت یعنی h_iها سازگار باشند کافی است میدان های برداری متناظر با آنها یعنی xh_i سازگار باشند. در این حالت انتگرال های حرکت تشکیل زنجیری به نام lenard-magri میدهند و در روابط زیر صدق می کنند: pdh_0=0 , xh_i=pdh_i=p’dh_(i-1) , p’dh_n=0 که می توان این روابط را توسط معادله زیر نیز نشان داد: p_?dh(?)=0 , ??r که در آن p_?=p+?p’ را دسته پواسون و تابع h(?)که به صورت h(?)=h_n ?^n+...+h_1?+h_0 را تابع casimir چندجمله ای با دسته پواسون p_? گوییم. در اینجا هدف ما پیدا کردن p_?ها برای جبرلی-های e(3) و so(4) است.