امروزه در ریاضیات مالی مدل های نوسانات تصادفی به دلیل نزدیک بودن به مدل های واقعی در بازارهای مالی مورد توجه هستند. تاکنون در مدل های نوسانات تصادفی و قیمت گذاری آنها از حرکت براونی برای ساختن دینامیک سهام استفاده شده است، اما با توجه به اینکه فرایندهای لوی دسته ی بزرگی از فرایندهای تصادفی هستند، در این پایان نامه مدل نوسانات تصادفی با مشتقات فرایند لوی بررسی شده و سپس این مدل برای قیمت گذاری و پوشش ریسک به کار برده شده است. نوسانات تصادفی و اندازه ریسک خنثی در این مدل به ترتیب توسط زنجیر مارکف پیوسته و تبدیل اسچر تعیین می شوند. همچنین قیمت گذاری اختیار با استفاده از روش تبدیل فوریه محاسبه می شود. در انتها یک فرمول بسته برای نسبت پوشش ریسک توسط کاهش پوشش ریسک موضعی ارائه شده است.

فرایند شاخه ای کنترل شده ‎(cbp)‎ تعمیمی از فرایند شاخه ای گالتون-واتسون کلاسیک است و در اصطلاح پویایی جمعیت، برای توصیف تکامل جمعیت هایی استفاده می شود که در آن یک کنترل روی اندازه ی جمعیت در هر نسل مورد نیاز است. در این پایان نامه، براورد توزیع فرزندان و پارامترهای اصلی آن برای یک فرایند شاخه ای کنترل شده با تابع کنترل قطعی بررسی می شود. مسأله از طریق یک رویکرد بیزی و در یک زمینه ناپارامتریک مورد بحث قرار می گیرد. روش زنجیر مارکف مونت کارلوmcmc ‎، به ویژه نمونه گیری گیبس و روش محاسبات بیزی تقریبی ‎(abc)‎ مورد استفاده قرار می گیرند. دقت روش های ‎mcmc‎ و ‎abc‎ با استفاده از یک آزمایش شبیه سازی شده ارزیابی و عملکرد آن ها مقایسه می شود‎.

در این پایان نامه یک فرایند گالتون-واتسون با مهاجرت وابسته به نسل را بررسی می کنیم که میانگین و واریانس آن به طور منظّم و به ترتیب با نمای و تغییر می کند. برآورد میانگین نوزادان تولیدشده در فرایند با استفاده از اندازه جمعیت فرایند موردبررسی قرارگرفته و نشان می دهیم که برآوردگر کمترین مربعات شرطی موزون (wclse)، یک برآوردگر سازگار است. شرایط کافی برای اینکه این برآوردگر از یک توزیع نرمال مجانبی پیروی کند نیز مورد بررسی قرار خواهد گرفت. همچنین برآوردگر کمترین مربعات شرطی و برآوردگر کمترین مربعات شرطی موزون برای یک فرایند شاخه ای تحت بحرانی که مهاجرت در آن به نسل فرایند وابسته است را شبیه سازی و خواص مربوط به آن را بررسی می کنیم.

در این پایان نامه برآوردگر حداقل مربعات برای واریانس تعداد نوزادان در فرایند شاخه ای بحرانی با مهاجرت ناهمگن مورد بحث و بررسی قرار می گیرد که در آن میانگین و واریانس مهاجرت به طور منظّم و به ترتیب با نمای و تغییر می کند. شرایط کافی برای اینکه برآوردگر توزیع مجانبی نرمال داشته باشد به دست می آید. اثبات ها براساس تکنیکهای مارتینگلی و نتایج همگرایی ضعیف در فضای اسکورخود است. در نهایت با شبیه سازی برآوردگر حداقل مربعات شرطی(clse) یک فرایند شاخه ای بحرانی با استفاده از نرم افزار r نتایج عددی به دست می آید.

نامساوی توانی آنتروپی کران پایینی برای دیفرانسیل آنتروپی مجموع دو متغیر تصادفی حقیقی مقدار بر حسب آنتروپی هریک از متغیرها است. نسخه هایی از نامساوی توانی آنتروپی برای متغیر های تصادفی گسسته به خصوص برای خانواده هایی از توزیع ها به دست آمده است. در این پایان نامه می خواهیم نامساوی توانی آنتروپی را برای متغیرهای تصادفی گسسته مستقل، هم توزیع یا غیر هم توزیع و همچنین نامساوی توانی آنتروپی شرطی را برای جفت متغیرهای تصادفی گسسته، مستقل و هم توزیع به دست آوریم.