در این پایا‏ن نامه‏، به ‏سه مفهوم کلی میانگین پذیری‏، میانگین پذیری ضعیف و ‎-‎n‎ ‎میانگین پذیری ضعیف دوگان دوم جبر باناخ a‎ ‎‏ می پردازیم. در ابتدا مفهوم میانگین پذیری دوگان دوم جبر باناخ را بیان کرده و نشان خواهیم داد که جبر باناخ ‎ ‎a‎ ‎‏ خاصیت میانگین پذیری را از دوگان دوم خود به ارث می برد. در ادامه به بیان مفهوم آرنز منظمی نگاشت های دوخطی روی فضاهای نرم دار می پردازیم‏، سپس شرایطی را که تحت آن دوگان دوم یک اشتقاق خود نیز یک اشتقاق است بررسی می کنیم. نتیجه ی اصلی ما در ارتباط با میانگین پذیری ضعیف و ‎-‎n‎ ‎میانگین پذیری ضعیف دوگان دوم جبرهای باناخ است که برای ‎ ‎n> ‎2‎ ‎‏ نشان خواهیم داد که ‎-‎n‎ ‎میانگین پذیری ضعیف دوگان دوم ‎-‎n‎ ‎میانگین پذیری ضعیف ‎a‎‎‏ را نتیجه خواهد داد. همچنین‎ تحت شرایط خاص میانگین پذیری ضعیف دوگان دوم جبر باناخ ‎ ‎a‎ ‎ میانگین پذیری ضعیف ‎ را نتیجه می دهد.‏