کارتان و کلینگ، جبرهای لی مختلط نیم ساده متناهی بعد و سیستم های ریشه ای وابسته را با استفاده از ماتریس های کارتان و نمودارهای دینکین رده بندی کردند. فومین-زلوینسکی در سال 2003 جبرهای خوشه ای را معرفی کردند که به طور خلاصه شامل یک درخت منظم است که به هر رأس یک خوشه و یک ماتریس نسبت داده می شود. این رأس ها توسط عملی با عنوان تحول با هم مرتبط می شوند. همچنین آنها جبرهای خوشه ای هندسی را که تعمیمی از حلقه مختصاتی گرسمنین ها است معرفی کردند. بعلاوه آنها جبرهای خوشه ای هندسی از نوع متناهی را با عمل تحول به درخت های دوری متناظر کردند که در حقیقت این تناظر دقیقا رده بندی کارتان کلینگ است. در این پایان نامه ابتدا رده بندی کارتان و کلینگ و جبرهای خوشه ای را مطالعه کرده و سپس قضیه فومین زلوینسکی که جبرهای خوشه ای از نوع متناهی را بیان می کند مورد بررسی قرار می دهیم.