در سرتاسر این پایان نامه، تمامی حلقه ها، تعویض پذیر، یکدار و کاهش یافته هستند. پس از مقدمات، به معرفی انواع مهمی از توسیع های حلقه ها، از جمله توسیع های صلب و -rتوسیع ها خواهیم پرداخت. برای حلقه r، توسیعی به نام حلقه کامل کسرها که آن را با نماد q(r) نشان می دهیم و دو زیرحلقه مهم از آن به نام های پوش اپی مورفیک و پوش بئر، معرفی شده و مورد مطالعه قرار خواهند گرفت. پوش اپی مورفیک r را با نماد ( e(r و پوش بئر r را با نماد b(r) نشان می دهیم. هدف نهایی ما، در این مطالعه، تعیین شرایطی است که در آن، توسیع های q(r) ?r ، b(r)?r و e(r)?r صلب یا شبه صلب هستند. این شرایط صرفا جبری نیستند؛ بلکه با بهره گیری از مفاهیم توپولوژی هسته- غلافی و توپولوژی معکوس روی مجموعه ایدال های اول مینیمال، به دست می آیند.به عنوان مثال، توسیع های r?q(r) و r?b(r)، صلب هستند، اگر و تنها اگر فضای ایدال های اول مینیمال r، فشرده و شدیدا ناهمبند باشد و به علاوه r در شرط پوچساز صدق کند. از دیگر نتایج مهم که می توان به آن اشاره کرد این است که توسیع r?e(r)شبه صلب است، اگر و تنها اگر فضای ایدال های اول مینیمال r، فشرده باشد.