بسیاری از وضیعت های دنیای واقعی را می توان به راحتی به وسیله نموداری متشکل از مجموعه ای از نقاط و خطوطی که زوج های معینی از این نقاط را به هم وصل می کنند، توصیف کرد. مثلاً نقاط می توانند معرف افراد باشند، خطوط واصل بین زوج ها می توانند معرف دوستی ها باشند و یا نقاط ممکن است مراکز ارتباط های بین آنها باشند. در چنین نمودارهایی آنچه بیشتر مورد توجه است آن است که آیا دو نقطه مفروضبه وسیله یک خط به هم وصل شده اند یا نه؛ شیوه وصل نقاط به هم مهم نیست. تجرید ریاضیاتی وضیعت هایی از این نوع، به پیداش مفهوم گراف منجر شده است. این شاخه ریاضی را به این دلیل گراف می نامند که می توان این وضیعت ها را به صورت گراف (نمودار) نمایش داد، این نمودارها به ما کمک می کند تا بسیاری از خواصآنها را درک کنیم. درگراف هر رأس به وسیله نقطه و هریال به وسیله خطی که دو رأس گراف را به هم وصل می کند، مشخصمی شود. نمودار گراف صرفاً رابطه وقوع را بین رأس ها ویال های آنها به نمایش می گذارد. نظریه گراف علاوه بر این که خود شاخه ی مستقل ومهم در ریاضیات است نقش مهمی در موضوعات نظیر مهندسی الکترونیک، تحقیق در عملیات و احتمالات و غیره دارد. حلقه r پایان نامه مذکور مربوط به مقاله ای که در سال 2008 ، اندرسون 1و بداوی 2 باتوجه به اینکه است یا نه، گراف جمعی را توصیف کردند که وابسته r ایده آلی از z(r) جابه جایی و یکدار و گرافی است که رئوس آن t(??(r)) نمایش می دهند. t(??(r)) به حلقه است و با نماد 1anderson 2badawi 9 مجموعه عناصر حلقه و دو رأس این گراف زمانی با هم مجاور می باشد که مجموع آن ها در مجموعه مقسوم علیه های صفر قرار بگیرند. برای این گراف سه زیرگراف القایی می توان درنظر گرفت که هر کدام از این زیرگراف ها رئوس مجزا از هم دارند که ما ویژگی های گراف را روی گراف جمعی و سه زیرگراف القایی آن بررسی می کنیم. فصل اول این پایان نامه، شامل مطالبی ازتعاریف ومفاهیم حلقه و جبر جابه جایی که اقتباس شده از مراجع شارپ و هراشتاین است و دربخش دیگر فصل اول، مفاهیم گراف و انواع آن را که اقتباس شده از کتاب باندی - مورتی که نقش مهمی در اثبات قضایای اصلی این پایان نامه دارد. در فصل دوم و سوم ویژگی های گراف را روی گراف جمعی از یک حلقه جابه جایی و زیرگرافهای است یا نه، مورد بررسی قرار می دهیم. r ایده آلی از z(r) القایی آن را در دو حالتی که 10