در این پایان نامه، مکانیک ِ کوانتُمی ِ مربوط به فضای ِ پیکربندی با ناجابه جایی از نوع ِ جبر ِ لی بررسی خواهد شد. ابتدا عملگرهای ِ مورد ِ نیاز، در نمایش ِ تکانه (که جابه جایی است) به دست آورده می شوند. سپس به طور ِ خاص درباره ی ِ شکل ِ کلّی ِ همیلتُنی ِ سیستم های ِ su(2)- ناوردا بحث خواهدشد. در ادامه چبیشف های ِ وابسته به عنوان ِ ویژه توابع ِ عملگر ِ (x.x) معرّفی می شوند و ویژگی هایِشان بررسی می شود. در آخر معادله ی ِ شرودینگر ِ مستقل از زمان با پتانسیل های ِ مختلف، که در بعضی از مثال ها به یک معادله ی ِ دیفرانسیل و در بعضی دیگر به یک معادله ی ِ تفاضلی ِ دوبازگشتی تبدیل شده است، به روش ِ عددی و تحلیلی حل و رفتار ِ ویژه مقادیر و ویژه تابع های ِ انرژی بررسی می شود. نتایج ِ به دست آمده در حدّی که مکانیک ِ کوانتُمی ِ جابه جایی را نشان می دهد، با آنچه از قبل می دانستیم مطابقت دارد.

نانوساختارهای توخالی گروه ویژه ای از مواد هستند که خصوصیات فیزیکی و شیمیایی متفاوتی نسبت به ترکیبات مشابه خود نشان می دهند. این خصوصیات به وسیله شکل، اندازه و ترکیب آن ها تعیین می شود. در این پایان نامه نانو فیبرهای توخالی sio2 را با روشی آسان تر و مقرون به صرفه تر از روش های سل- ژل و الکتروچرخشی آماده کرده و مورد بررسی قرار دادیم. برای ساخت فیبرهای توخالی sio2 از فیبرهای پنبه استفاده کردیم. به این صورت که سوسپانسیونی از پودر sio2 و آب دیونیزه درست کرده و تکه هایی از پنبه را در این سوسپانسیون خیسانده و سپس نمونه ها را خشک می کنیم. آخرین مرحله نیز کلسینه کردن در دماهای بالا جهت سوزاندن پنبه ها است. جهت بررسی ریخت شناسی فیبرهای توخالی تولید شده چهار آزمایش طراحی شد. در آزمایش اول 3 نمونه که هر کدام در 40 درجه سانتیگراد به مدت 1 ساعت خشک شده بودند و در دماهای مختلف 500، 600 و 700 درجه سانتیگراد و به مدت 6 ساعت کلسینه شدند. در آزمایش دوم نمونه ها در دماهای 40، 50 و 60 درجه سانتیگراد خشک شده و در دمای 600 درجه سانتیگراد کلسینه شدند. فیبرهایی که به این روش آماده شدند ریخت شناسی پنبه را حفظ کرده، و از تخلخل و مساحت سطحی نسبتا بالایی برخوردار است. طول فیبرهای توخالی در حدود 10- 12 میکرومتر می باشد. در آزمایش های سوم و چهارم به ترتیب نسبت های وزنی بین پودر sio2 و آب دیونیزه و در آزمایش چهارم سایش پودر sio2 در دو زمان، 30 دقیقه و 1 ساعت را تغییر دادیم. روش های آنالیز مختلفی برای تشخیص این فیبرها به کار گرفته شده است از جمله میکروسکوپ الکترونی روبشی، تابش پراکندگی پرتو ایکس، اسکپتروسکوپی تبدیل فوریه مادون قرمز، اشعه ایکس برای آنالیز شیمیایی (معروف به edx) انجام شد.