‏فرمول اویلر-مکلورن توسط اویلر‏ و مکلورن‎‏ حدود 268 سال پیش در اوایل سال ‎1735‏ به طور مستقل کشف شد، این فرمول یک رابطه ی قوی بین انتگرال ها و مجموع فراهم می‏ کند. این رابطه می تواند برای تقریب زدن انتگرال ها توسط جمع های متناهی استفاده شود‏، یا برعکس می توان برای محاسبه ی مجموع های متناهی و سری های نامتناهی از انتگرال ها و حساب دیفرانسیل و انتگرال استفاده کرد.‎ ‏بنابراین این فرمول یک تناظر بین مجموع ها و انتگرال های معین فراهم می کند. اویلر این فرمول را برای محاسبه ی سری های نامتناهی که دارای همگرایی کند می باشند‏، استفاده کرد‏، در حالی که مکلورن این فرمول را برای تخمین زدن مقدار انتگرال ها استفاده کرد. فرمول مجموع اویلر-مکلورن دارای ‏تعمیم ها و بسط های بسیاری می با‎‏شد.‎‎‎ در این پایان نامه چند نوع از تعمیم های فرمول مجموع او‎‏یلر-مکلورن و کاربردهای آنها مورد مطالعه و بررسی قرار خواهد گرفت‎.‎ ‎ در کار پیشگامانه ‎‎‎‏هوگ ‏و همکارانش ‎‎‎‎‏ در سال 1973 یک تعمیم از فرمول ‏مجموع اویلر-مکلورن بر مبنای درونیابی قطعه به قطعه لاگرانژ ساخته شده است. ‏ آنها تعمیم ارائه شده را برای تقریب زدن انتگرال گیری حاصل ضرب در حالتی که یکی از توابع زیر انتگرال هموار و دیگری تکین یا هر دو هموار باشند‏، استفاده کرده اند. سپس از این روش انتگرال گیری عددی برای حل عددی معادلات انتگرالی فردهولم نوع دوم استفاده نموده اند. ‏ما ‎‎‏ و همکاران‎‎‎‎‎ ‎‏ در سال 1996 و ‎آلپرت ‎‎‏ در سال 1999 طرح های مرتبه بالایی برای انتگرال گیری حاصل ضرب ‎با استفاده از تعمیم فرمول مجموع اویلر-مکلورن توسعه داده اند. سایاس در سال 1998 یک تعمیم از فرمول اویلر-مکلورن روی مثلث ها داد و وجود یک بسط مجانبی خطا را برای فرمول انتگرال گیری مرکب روی مثلث ها ثابت کرد. نتایج او مبتنی بر دستکاری ساده مشتقات توابع دو متغیره نسبت به نگاشت‎ های آفین ‎‏و خاصیت های اساسی فضاهای سوبولوف می باشد. ‏ ‎‎ ‎‎ گرزگورز ‎ltrfootnote{ grzegorz rza ‎dkow‎ski}‎‏ و همکاران ‎‎cite{ rzadkowski3}‎‎‏ در سال 2008 یک تعمیم از فرمول مجموع اویلر-مکلورن مبتنی بر توابع برنولی معرفی و از آن برای محاسبه عددی انتگرال های فرمی-دیراک استفاده می کنند. گرزگورز‏ در سال 2009 از تعمیم فرمول مجموع اویلر-مکلورن با افراز بازه انتگرال گیری به زیر بازه های نابرابر برای تقریب انتگرال های تکین استفاده می کند. گرزگورز در این مقاله حالت خاصی از فرمول مجموع اویلر-مکلورن مبتنی بر توابع برنولی را برای تقریب زدن‏، استفاده کرده است. این روش می تواند به عنوان یک تعمیم مستقیم از روش ذوزنقه ای در نظر گرفته شود.

: وجود درد و سندرم محرومیت در بیماران وابسته به مواد مخدر که تحت لاپاراتومی قرار می گیرند باعث افزایش مدت زمان بستری و عوارض جانی و مالی فراوان می گردد.هدف از این مطالعه بررسی و مقایسه اثر بوپرنورفین زیرزبانی با مورفین تزریقی در کنترل درد و علائم سندرم محرومیت در این بیماران می باشد. مواد و روش ها : در این مطالعه که به صورت کارآزمایی بالینی یک سو کور انجام شد تعداد 68 نفر از وابسته به مواد مخدر که تحت لاپاراتومی قرار می گیرند به صورت تصادفی به گروه های مطالعه تخصیص داده شده و با مورفین وریدی( 5 میلی گرم) و یا بوپرنورفین زیرزبانی(4/0میلیگرم) تحت درمان قرار گرفتند ،بیماران در ساعات متعدد طی 24 ساعت پس از عمل از نظر شدت علائم سندرم محرومیت( بر اساس جدول cows ) و شدت درد بر اساس مقیاس نظری سنجش دردvisual analogue scale (vas) مورد ارزیابی قرار گرفتند. نتایج : تعداد 68 بیمار (34 نفر در هر گروه) مطالعه را به پایان رساندند. میانگین سن در گروه مورفین95/7± 06/30 در گروه بوپرنورفین45/8±68/30 بود.بین دو گروه از نظر سن و جنس،شدت درد پس از عمل و علائم سندرم محرومیت قبل از تجویز دارو تفاوت آماری معنی داری وجود نداشت(p>0.05). در ساعت اول مورفین به صورت معنی داری(p<0.001) در مقایسه با گروه بوپرنورفین از شدت علائم محرومیت کاسته است اما در ساعت 6 و 24 بوپرنورفین در مقایسه با مورفین به صورت معنی داری(p<0.001) در کاهش شدت علائم محرومیت موثر تر بوده است. مقایسه ی میانگین شدت درد ساعت اول در دو گروه نشان داد که بین مورفین و بوپرنورفین در کاهش شدت درد تفاوت آماری معنی داری وجود ندارد(p=0.457) .این درحالیست که بوپرنورفین در قیاس با مورفین به صورت معنی داری از میانگین شدت درد ساعت 6 و 24 کاسته است(p<0.05). بحث و نتیجه گیری : مطالعه حاضر نشان داد که بوپرنورفین زیرزبانی به عنوان دارویی سهل الوصول، موثر وکم عارضه می تواند جایگزینی مناسب برای مورفین جهت کنترل درد و تخفیف علائم سندرم محرومیت بیماران وابسته به مواد مخدرکه تحت عمل لاپاراتومی قرار می گیرند؛ باشد