مسیله مکانیابی p-مرکز در استقرار تسهیلات ضروری نظیر مراکز پلیس، آتش نشانی، اورژانس و غیره کاربردهای فراوانی دارد. در این پایان نامه مطالعات نسبتاً کاملی از انواع صورت ها و پارامترهای موثر در این مسیله صورت گرفته است و بعضی از معروف ترین الگوریتم هایی که برای حل نسخه های مختلف مسیله p-مرکز در فضای پیوسته ارایه شده است، بیان می شود. همچنین در این پایان نامه الگوریتمی به شیوه برنامه نویسی پویا برای حل مسیله p-مرکز در فضای خطی ارایه داده و آن را برای چیدمان خاصی از نقاط در صفحه بسط می دهیم. در ادامه روشی جدید برای مقداردهی اولیه جوابها برای الگوریتم های ابتکاری حل مسیله p-مرکز ارایه می شود و به منظور هر چه کاربردی کردن مباحث، به مطالعه در زمینه استقرار تسهیلات ضروری در فضاهای همراه با محدودیت پرداخته شده و به بهینه سازی یک الگوریتم ابتکاری ارایه شده برای حل مسیله p-مرکز در چنین فضایی پرداخته می شود، به گونه ای که احتمال یافتن جواب بهینه عمومی را در آن افزایش می دهیم. بعلاوه پس از بررسی ارتباط مسیله p-مرکز و مسیله پوشش، با استفاده از حل مسیله p-مرکز الگوریتمی ابتکاری بر پایه دیاگرام ورونوی برای حل مسیله پوشش نیز ارایه می گردد.

موضوع فرش کردن1یکی از زیرمجموعه های مهم علم ترکیب بندی2 است که در آن سعی می شود یک سطح (محدود یا نامحدود) با استفاده از اشکال مختلف هندسی طوری پوشانده شود که سطح پوشش داده شده حفره نداشته و اشیاء استفاده شده هم پوشانی نداشته باشند. حالت خاصی از فرش کردن مسئله کاشی کاری3 است که موضوع این پایان نامه است. در مسئله کاشی کاری هدف پوشش یک سطح یا صفحه (بی نهایت) با استفاده از مربع هایی با طول اعداد طبیعی و دوبه دو متمایز است. در این راستا تمرکز بر روی امکان پوشش یک سطح مستطیلی یا صفحه توسط مجموعه هایی از اعداد طبیعی (به عنوان طول ضلع مربع ها) است. در این پایان نامه به بررسی حالت های خاصی از مجموعه هایی از اعداد طبیعی خواهیم پرداخت که تعداد اعداد فرد موجود در آن محدود و تعداد اعداد زوج نامحدود است. همچنین در این رساله قضایایی در مورد امکان یا عدم امکان کاشی کاری با زیر مجموعه ای از اعداد طبیعی که اعضای آنها متمایز هستند، بررسی خواهد شد. این مجموعه ها که نشان دهنده طول ضلع مربع ها هستند، شامل تعداد مشخصی از اعداد فرد است. در این پایان نامه حالت های خاصی از مسئله مورد بررسی قرار گرفته و امکان یا عدم امکان پوشش صفحه بی نهایت و مستطیل مطالعه می شود.

شبکه های برق هوشمند یکی از جدیدترین تکنولوژی های روز دنیا و حاصل تلاش متخصّصین جهت ارتقای شبکه های توزیع الکتریسیته برای ورود به قرن دیجیتال است. یکی از اهداف اصلی به وجود آمدن <<شبکه ی برق هوشمند>>، امکان ایجاد یک ارتباط دوطرفه بین خریداران و فروشندگان به صورت غیرمتمرکز و برخط است. ارضای نیازهای خریداران از طریق برق تولیدی فروشندگان جزو اهداف ایجاد این شبکه ها است. از این رو، وجود یک بازار مطمئن و پایدار که بتواند تمامی تبادلات انرژی را بر طبق شرایط محیط و انرژی به صورت پویا کنترل کند، امری ضروری است. در این نوع از بازارها، تعیین قیمت برق بر پایه ی استانداردهای عرضه و تقاضا است. در دنیای بازار و تجارت، همیشه سیستم یا افرادی وجود دارند که درصدد فروش اجناس خود در جهت <<کسب سود بیشتر>> و از طرفی در آن سوی بازار، افرادی نیز وجود دارند که در پی ارضای نیازهای خود در مقابل <<هزینه ی خرید کمتر>> هستند. مسئله ی <<تخصیص منابع>> در بازار مبتنی بر شبکه ی برق هوشمند یکی از مسائل جدید و پرچالش در شبکه های برق هوشمند است که از ویژگی های اقتصادی الهام گرفته شده است. در این بازار، منابع با استفاده از رقابت بین خریداران و فروشندگان تخصیص داده می شوند. خریداران درصدد کاهش هزینه های خرید خودشان هستند. به تبع این مشخصه، آن ها به دنبال فروشندگانی هستند که قیمت کمتری نسبت به بقیه ی فروشندگان برای فروش هر واحد برق تولیدی خودشان اعلام کرده باشند. در مقابل، فروشندگان به دنبال آن دسته از خریدارانی هستند که قیمت بالایی برای خرید برق مورد نیاز خودشان اعلام کرده اند. در همین راستا، طراحی یک مکانیزم قیمت گذاری و سیاست خرید و فروش پایدار، برای به تعادل رساندن بازارها در شبکه های برق هوشمند (با در نظر گرفتن تمامی محدودیت های موجود) امری حیاتی خواهد بود. در این پایان نامه سعی بر آن است که یک <<مکانیزم متعادل>> برای تخصیص منابع بین خریداران و فروشندگان، به علاوه، یک سیاست <<قیمت گذاری مناسب>> برای هر واحد برق در دوره های متوالی خرید و فروش ارائه گردد. همچنین، یک استراتژی <<کسب سود بیشتر در مقابل پرداخت هزینه ی کمتر>> برای خریداران در مقابل یک <<استراتژی فروش سودآور>> برای فروشندگان برق طراحی و پیاده سازی شود. در نتیجه، کار اصلی این پایان نامه در گام نخست، طراحی و مدل سازی ریاضی برای بازار برق، جهت فرمول بندی مسئله است. در نتیجه، دو مدل تک هدفه و یک مدل دو هدفه ی جامع برای ایجاد بازارهای برق ارائه شده است. در مدل اول، به هدف خریداران که همان کاهش هزینه های خرید است، توجه خواهیم کرد. در ادامه، در نظر گرفتن هدف فروشندگان که بر مبنای افزایش سود فروش خودشان است، جزو اولویت های مدل دوم است. در نهایت، در نظر گرفتن هم زمان هر دوی اهداف ذکر شده به همراه محدودیت های مسئله، تشکیل مدل سوم را می د هند. ویژگی دیگر این پژوهش، ارائه ی الگوریتم هایی مناسب بر پایه ی هر کدام از مد ل های پیشنهادی است که بتواند کارایی هرچه بیشتر بازار را در جهت بهینگی و تعادل، به ارمغان بیاورد. یک الگوریتم تکاملی حریصانه برای دو مدل اول و همچنین یک الگوریتم تکاملی چند هدفه برای مدل سوم در جهت حل مسئله ی تخصیص منابع در بازارهای برق مبتنی بر شبکه ی برق هوشمند ارائه شده است. استفاده از تکنیک های محاسبات تکاملی به جهت np-complete بودن مسئله ی تخصیص منابع، یکی از ویژگی های بارز الگوریتم های ارائه شده است. دست یابی به یک جواب (تخصیص منابع) نزدیک به بهینه، نتیجه ی اجرای این الگوریتم ها بر روی دو مدل اول است. همچنین، حاصل اجرای الگوریتم های تکاملی چندهدفه بر روی مدل سوم، دست یابی به مجموعه ای از جواب های نامغلوب (نسبت به یک دیگر) برای مسئله ی تخصیص منابع است.

جستجوی نزدیکترین همسایه یکی از پرس وجوهای مهم در مدیریت داده ها و هندسه محاسباتی است. داده ها در دنیای واقعی تحت تاثیر عوامل مختلفی چون اختلال، خطا در انتقال و یا امنیت داده ها به صورت غیرقطعی در پایگاه داده ذخیره می شوند. در مسئله جستجوی نزدیکترین همسایه در شرایط عدم قطعیت به دنبال گزارش داده هایی هستیم که با احتمال بزرگتر از صفر نزدیکترین همسایه (نزدیکترین همسایه غیرصفر) پرس وجو هستند. فرض کنیم مجموعه lr{$p$} شامل lr{$n$} داده باشد. نتایج زیر در این پایان نامه بدست آمده است. در حالتی که پرس وجو دقیق و داده ها غیرقطعی هستند و ناحیه عدم قطعیت آن ها به صورت گوی های lr{$d$}بعدی مدل شده اند که اشتراکی با هم ندارند، یک الگوریتم تقریبی ارائه کرده ایم که با فضای مصرفی و زمان پیش پردازش lr{$o(nlog varphi(p)+ n^{lfloor d/2 floor+1+epsilon})$} و در زمان lr{$ o(log n+ lambda^dlog{dfrac{diam(p)}{varpi}}+dfrac{1}{varepsilon^d} +k) $} نزدیکترین همسایه های غیرصفر را با تقریب lr{$(1+varepsilon)$} تحت فاصله اقلیدسی گزارش می کند که lr{$k$} اندازه خروجی، lr{$diam(p)$} فاصله بیشینه مرکز گوی ها، lr{$lambda$} بیشینه اختلاف شعاع گوی ها و lr{$varphi(p)$} نسبت دورترین مرکز گوی ها به نزدیکترین مرکز گوی ها است. در حالتی که پرس وجو غیرقطعی و داده ها نیز غیرقطعی هستند و ناحیه عدم قطعیت آن ها به صورت پاره خط و یا مربع های هم اندازه موازی محور ها مدل شده اند که همپوشانی ندارند، یک الگوریتم کارا ارائه کرده ایم که نزدیکترین همسایه های غیرصفر را تحت فاصله منهتن، با فضای مصرفی lr{$o(n^2alpha(2n^2))$} و در زمان lr{$o(log n+k)$} گزارش می کند که lr{$k$} اندازه خروجی و lr{$alpha$} معکوس تابع آکرمن است. اگر داده ها قطعی و پرس وجو غیرقطعی باشد و ناحیه عدم قطعیت آن به صورت پاره خط های موازی محور lr{$x$}ها مدل شده است یک الگوریتم کارا ارائه کرده ایم که می تواند نزدیکترین همسایه های غیرصفر پرس وجو را با فضای مصرفی lr{$o(nlog n)$} و در زمان lr{$o(log n+k)$} گزارش کند که lr{$k$} اندازه خروجی است.

بهینه سازی کارهای مستقل در سطح بالا به حل مسئله برنامه ریزی حرکت برای یک ربات سیار نیاز دارد. برای مثال، یک ماشین مستقل برای سروقت رسیدن به مقصد مورد نظر خود، باید به سرعت در خیابان ها حرکت کند و از برخورد با موانع مانند ساختمان یا اتومبیل های دیگر اجتناب کند و همچنین ایمنی را برای عبور و مرور حفظ کند. در این پایان نامه ابتدا، الگوریتم های تقریبی برای برنامه ریزی حرکت بهینه ی ربات در محیط های ایستا را مطالعه می کنیم. در این الگوریتم ها، تابع هزینه-به-رفتن که به عنوان کمترین هزینه برای رسیدن از نقطه ی جاری در فضا به هدف تعریف شده است، مقداردهی می شود. هنگامی که این تابع محاسبه شد، مسیر بهینه در جهت شدیدترین کاهش شیب این تابع بدست می آید. سهم اصلی ما از این پایان نامه، رویکردی مبتنی بر تجزیه و تحلیل نحوه ی دوباره مقداردهی تابع هزینه-به-رفتن است وقتی که تغییر در محیط شناسایی می شود. ما نشان می دهیم که در بسیاری از موارد، زمانی که محیط تغییر می کند تنها یک دامنه ی کوچک از تابع هزینه-به-رفتن نیاز است که دوباره محاسبه شود.

در این پایان نامه، بازی ورونوی در یک شبکه مستطیلی (g(m,n را مطالعه خواهیم کرد. در این بازی، دو بازیکن مهره های خود (هر کدام k تا) را در یک دور در یک شبکه قرار خواهند داد. مساحت شبکه بر اساس قاعده نزدیک ترین همسایه با متر منهتن میان دو بازیکن(سفید و سیاه) تقسیم می شود. نشان خواهیم داد که در یک شبکه یک بعدی ، (g(1,n، بازیکن سفید به عنوان بازیکن اول، دارای استراتژی برد است. اگر n به 2k بخش پذیر نباشد، استراتژی ارائه شده، برد با اختلاف حداقل یک را برای بازیکن سفید تضمین خواهد کرد. در ادامه بهینگی استراتژی ارائه شده برای این بازیکن را نشان خواهیم داد. سپس بازی را در یک شبکه دو بعدی، (g(m,n، که در آن m>1 مطالعه خواهیم نمود. در این حالت، بازیکن سیاه قادر است بازیکن سفید را در بعضی از حالات شکست دهد. بنابراین، خصوصیاتی را برای یک شبکه با عرض فرد(m فرد) ارائه خواهیم نمود که به ازای آن، بازیکن سفید برنده بازی باشد. علاوه بر این، کران پایینی برای طول شبکه ارائه خواهیم کرد که به ازای هر طول بیشتر از این کران، بازیکن سفید بتواند بازی را با حداقل اختلاف m، عرض شبکه، ببرد. در حالتی که عرض شبکه زوج باشد، بازیکن سفید نمی تواند برنده بازی باشد (در بهترین حالت می تواند مساوی را کسب نماید).

در سال های اخیر ظهور و گسترش شبکه های بی سیم در دنیای ارتباطات و تبادل داده موجب جذب مطالعات گوناگون به منظور بهبود کیفیت آن ها در ابعاد مختلف شده است. با توجه به محدودیت برد دستگاه های فراهم کننده ارتباطات بی سیم، برای ایجاد این شبکه ها در یک محدوده جغرافیایی مشخص، معمولاً نیاز به استقرار تعداد زیادی نقطه دسترسی به منظور فراهم آوردن پوشش کامل و افزایش کیفیت سرویس دهی به کاربران است. در یک شبکه متراکم، هر نقطه از محیط ممکن است توسط چندین نقطه دسترسی متفاوت پوشیده شده باشد، بنابراین در این نقاط، کاربر چندین انتخاب برای اتصال به شبکه دارد. علاوه بر این قطع ارتباط کاربر از یک نقطه دسترسی و اتصال آن به نقطه دسترسی دیگر، که به آن "عملیات تحویل" می گویند، موجب بروز اختلال در ارتباط کاربر با شبکه و نیز افزایش مصرف انرژی می شود. چگونگی انتخاب از میان نقاط دسترسی متفاوتی که کاربر در یک نقطه از شبکه می تواند به آن ها متصل شود تأثیر مستقیمی بر تعداد تحویل های رخ داده در حین ارتباط کاربر با شبکه دارد. هدف ما در این پایان نامه کمینه سازی برخط تحویل ها در یک شبکه بی سیم با ظرفیت سرویس دهی محدود نقاط دسترسی است. ما این مسئله را از دیدگاه تحلیل رقابتی بررسی می کنیم و با در نظر گرفتن دو حالت روی حرکت کاربران به بررسی آن می پردازیم: 1- هر کاربر بتواند درون شبکه مسیر حرکت دلخواه خود را داشته باشد 2- کاربران به صورت گروهی و باهم حرکت کنند. در حالت اول ثابت می کنیم که هیچ الگوریتم رقابتی نمی تواند در حالت برخط این مسئله را با ضریب رقابتی محدودشده حل کند. در حالت دوم با توجه به اطلاعات ورودی مسئله، هنگامی که مسیر حرکت کاربران از قبل مشخص است با ارائه یک الگوریتم حریصانه، بهینگی آن را ثابت می کنیم و اگر مسیر حرکت کاربران مشخص نباشد دو الگوریتم غیرمتمرکز و متمرکز را ارائه می کنیم که اجرای آن ها بدون داشتن هیچ دانشی از چگونگی حرکت کاربران انجام می شود. برای الگوریتم غیرمتمرکز ثابت می کنیم که ضریب رقابتی آن o(nاست و برای الگوریتم متمرکز نیز ثابت می کنیم که چنین استراتژی در مقابل هر رقیب فراموش کار دارای ضریب رقابتی o(?) است، که n تعداد کاربران حاضر در شبکه و ? حداکثر تعداد نقاط دسترسی است که کاربران در هر نقطه از مسیر حرکت خود می توانند به آن ها متصل شوند.