این پایان نامه شامل چهار فصل است: در فصل اول، به مفاهیم مقدماتی سیستم های دینامیکی و انواع آن می پردازیم، همچنین پایداری و ناپایداری در سیستم های پیوسته را بررسی می کنیم و زیرفضاهای پایدار و ناپایدار یک سیستم خطی و زیر منیفلدهای پایدار و ناپایدار یک سیستم غیر خطی را تعریف می کنیم. در فصل دوم، یک سیستم دینامیکی هامیلتونی با نام مساله سه جسم و یک نوع خاص از آن با نام مساله سه جسم محدود مسطح را معرفی کرده و معادلات حرکت، مکان نقاط تعادل و سطوح انرژی این سیستم را مورد بررسی قرار می دهیم. در فصل سوم، دو جسم اولیه در مساله سه جسم را، خورشید و زمین یا زمین و ماه و جسم سوم را یک ماهواره یا یک فضاپیما در نظر گرفته و مدارهای جواب این سیستم که همان مسیرهای حرکت فضاپیما هستند را بررسی می کنیم. همچنین منیفلدهای پایا حول نقاط لاگرانژی و حول مدارهای متناوب سیستم را یافته و چگونگی جابجایی فضاپیما را در این منیفلدها را شرح می دهیم. در فصل چهارم، نمونه هایی از ماموریت های فضایی واقعی که با استفاده از مسیرهای مساله سه جسم انجام گرفته است را بیان می کنیم.

در این پایان نامه، نتایج اخیر در پایداری ساختاری را با توجه به خاصیت سایه زنی و سیستم های دینامیکی آناسوف ارائه می دهیم. ابتدا برخی از مفاهیمی که در پایان نامه مورد استفاده قرار گرفته اند را بازبینی می کنیم. در فصل دوم سیستم های دینامیکی خطی معرفی می شود. فصل سوم به هم ارزی توپولوژیکی، پایداری ساختاری و اصل اول پایداری اختصاص یافته است. بعد از آن سیستم های دینامیکی آناسوف برای شارها و دیفئومورفیسم ها مطرح می گردد فصل ‎(4)‎. در نهایت، نشان می دهیم که یک میدان برداری در درون مجموعه میدان های برداری با خاصیت سایه زنی قرار دارد اگر و فقط اگر در هردو خاصیت اصل اول پایداری و شرط متقاطع قوی صدق کند.

در این پایان نامه، رده هذلولوی ‎ h‎_{f}(p)‎ ‎ را که یک رده هموکلینیک تکین همراه با خاصیت سایه زنی است،‎ مورد مطالعه قرار می دهیم. ابتدا به بررسی زیرفضاهای پایدار و ناپایدار، قضیه هارتمن-گرابمن، مدارهای متناوب، مدارهای هموکلینیک و هتروکلینیک می پردازیم. سپس مجموعه های حدی و نقاط بازگشتی یک سیستم دینامیکی معرفی می شود. در ادامه خاصیت سایه زنی و برخی ویژگی های آن مورد بررسی قرار می گیرد. در نهایت اثبات قضیه اصلی زیر را می آوریم: رده هموکلینیک تکین ‎ h‎_{f}(p)‎ ‎ سایه پذیر است اگر و تنها اگر یک مجموعه پایه ای هذلولوی باشد.

یکی از مسائل مهم در نظریه ی گره، تشخیص و تمایز گره ها از یکدیگر است. تاکنون روش های متعددی به این منظور ابداع شده و به کار رفته است. یکی از آنها معرفی چندجمله ای هایی مرتبط با ساختار گره ها و زنجیر هاست که این چندجمله ای ها به عنوان ناورداهای گره ها و زنجیرها در نظر گرفته می شوند؛ به این معنا که هر نمایش از یک گره یا زنجیر دارای چندجمله ای یکسان است.اما آنچه که در معرفی چندجمله ای ها نقش اساسی دارد آن است که دو گره با چندجمله ای های نامساوی، برابر نیستند. دامنه این مبحث بسیار گسترده است و چندجمله ای های بسیاری در نظریه گره مطرح شده اند، برخی از آن ها عبارت اند از: چندجمله ای جونز، چندجمله ای الکساندر، چندجمله ای، a-چندجمله ای وc-چندجمله ای. به علاوه، بررسی برخی ویژگی های این دسته از چندجمله ای ها، مانند توزیع ریشه های چندجمله ای های جونز و الکساندر در صفحه، مورد توجه محققین بوده است که بخشی از این پایان نامه به این موضوع پرداخته است.

این پایان نامه به معرفی روش های گروه لی و برخی کاربردهای آن در حل عددی معادلات دیفرانسیل می پردازد.