یک شاخص برای عدم تعادل توابعی که روی یک گروه آبلی تعریف شده اند، معرفی می کنیم و به کمک آن یک شاخص جدید برای غیر خطی بودن این توابع بدست می آوریم که آن را باnb نمایش می دهیم. همچنین یک رابطه نامساوی از غیر خطی بودن s-باکس ها را بین nb و شاخص کلاسیک nl حل می کنیمکه این رابطه به وسیله نایبرگ معرفی و توسط چابود و وادنی مطالعه شده است. نتیجه این نامساوی یک کران بالا برای nl می باشد که یک یکپارچگی بین کران سیدل نیکوف-چابود-وادنی و کران شعاع پوششی ایجاد می کند. ما همچنین از کران های موجود روی کدهای خطی سه کران جدید برای nl استنباط میکنیم که کران سیدل نیکوف-چابود-وادنی و کران شعاع پوششی را در بسیاری از موارد بهبود می بخشند.

ارائه روش مناسب برای بررسی ساختار یک حلقه در جبر ناجابه جایی از اهم موضوعاتی است که محققان این رشته به آن پرداخته اند. ‎‎‏نتایج به دست آمده حاکی از این مطلب است که ‏اتحادهای دیفرانسیلی ابزار مفیدی در بررسی ساختار یک حلقه محسوب می شوند. از آن جمله با اعمال یک اتحاد دیفرانسیلی مناسب روی یک حلقه اول می توان به خاصیت جابه جایی روی حلقه دست یافت. در این رساله ‏ با استفاده ‏از روش های جبری‏، نکات زیر مورد بررسی قرار می گیرند. ‎(1) فرض‎ کنیم r‎‏ یک حلقه اول‏،m,n,k?1‎‏ عددهای ثابت صحیح، d یک‏ مشتق‏ و h‎‏ و ‎g ‎‎‏ مشتق های تعمیم یافته روی r باشند. بررسی اتحادهای دیفرانسیلی ذیل روی حلقه r‎‏ برای پی بردن به ساختمان حلقه و نیز ارائه شرایطی خاص بر روی مشتق های موجود در معادلات‏، در دستور کار ‏ اصلی این رساله قرار دارد. تعریف می کنیم‏، نگاشت جمعی ?:r?r به صورت همریختی تعمیم یافتهn -ام (همریختی جردن تعمیم یافته n -ام) روی r اثر می کند هرگاه برای هر x,y?r ،‎‎ ‎‏ ?(xy)^n=?(x)^n ?(y)^n (=?(x)^2n ?(x)^2n) .بر این اساس نخست‏، اتحادهای دیفرانسیلی ‎‏را در نظر می گیریم که مشتق موجود در آنها به صورت همریختی تعمیم یافتهn -ام (همریختی جردن تعمیم یافته n -ام) روی حلقه اول یا ایده ال های خاصی از آن اثر کنند.‎ با در نظر گرفتن اتحاد دیفرانسیلی=0 ‎‎‎?a [[d(x),x]_(n ) ,?[y,d(y)]?_m ]?^t روی حلقه، که در آن 0?a?r است ، شرط جابه جایی حلقه را به دست می آوریم. با بررسی اتحاد دیفرانسیلی (d[x^(m ) y,x]_k )^(n ) =[x^(m ) y,x]_k روی حلقه r می توان از شرط جابه جایی حلقه به عنوان یکی از نتایج به دست آمده نام برد. در تعمیم حالت (iii)، با جایگزین نمودن مشتق تعمیم یافته در اتحادهای مذکور ساختمانی خاص برای حلقه و مشتق تعمیم یافته موجود در اتحاد ارائه خواهیم کرد. با معرفی اتحادهای u^s h(u)u^t?z(r) و= 0 (u^s h(u)u^t )^n که در آنها s,t?0 اعداد صحیح و مثبت می باشند، روی ایده ال های لی غیر مرکزی از حلقه شرط جابه جایی حلقه و شرایطی خاص برای مشتق به دست می آوریم. بررسی اتحاد دیفرانسیلی h(u^2 )^n=g(u)^2nروی ایسده ال های لی غیر مرکزی از حلقه شرایطی خاص روی مشتق تعمیم یافته موجود ارائه خواهیم کرد. (2) در توسیع تعدادی از نتایج به دست آمده روی حلقه های اول شرایطی را مطالعه می کنیم که r یک حلقه نیم اول باشد.‎‎ (3) به عنوان تعمیمی دیگر از قضایای مطرح شده بر روی حلقه های اول‏، در بعضی از حالات به بررسی اتحادهای دیفرانسیلی شامل مشتق (مشتق تعمیم یافته) کران دار و طیفی کران دار روی جبرهای باناخ ناجابه جایی می پردازیم.

در این رساله به بررسی یک گراف وابسته به حلقه ها می پردازیم. گراف g که مجموعه رئوس آن ایده آل های راست محض و نا صفر حلقه بوده و دو راسi و j در آن مجاور هستند. هرگاه در نظر بگیریم ، این گراف را با نمایش می دهیم. ابتدا به بررسی پارامتر های گرافی این گراف می پردازیم، این پارامتر ها عبارتند از درجه رئوس ، همبندی ،مسطح بودن و . . . همچنین مجموعه احاطه گر این گراف را مورد بررسی قرار می دهیم و در پایان حلقه و گراف را بررسی می کنیم.

فرض کنیم ‎ rیک حلقه و g یک گروه باشد. در این رساله ابتدا به بررسی انواع مختلف حلقه های منظم می پردازیم. سپس با تعریف مختصری از گروه حلقه ها به ‏مطالعه گروه حلقه های منظم متفاوت می پردازیم و نشان می دهیم که یک گروه حلقه با چه خواصی می تواند از انواع مختلف حلقه های منظم باشد‎. در ادامه چند حلقه منظم جدید که بنا به خواص آن و با مقایسه با انواع مختلف دیگر حلقه های منظم به صورت زیر نامگذاری کردیم را معرفی کرده و خواص ناشی از آنها را بررسی می کنیم‎:‎ ‎1‎- حلقه های قویاً جابجا شده منظم ‎2-‎حلقه های zg‎ -منظم ‎3-‎حلقه های قویاً ‎zg -منظم سپس گروه حلقه هایی که دارای این خواص باشند را بررسی می کنیم‎. همچنین یک حلقه ‎ ‎zg-کلین را معرفی کرده و به بررسی خواص ناشی از آن می پردازیم.

فرض کنیم r حلقه جابجایی و z(r) مجموعه مقسوم علیه های صفر و reg(r) مجموعه اعضای منظم باشد. گراف تام از حلقه r را با ?(?(r)) نشان می دهیم. برخی خاصیتهای ?(?(r))، زمانیکه r حلقه جابجایی متناهی است را بررسی می کنیم و در این حالت یک کران بالا برای راس همبندی مشاهده می کنیم. همچنین ثابت می کنیم یال همبندی از ?(?(r)) برابر با مینیمم درجه آن است اگر و تنها اگر r حلقه جابجایی باشد بطوریکه z(r) ایده ال در r نباشد. و همچنین سه زیرگراف z(?(r)) ، reg(?(r)) و nil(?(r)) از ?(?(r)) را مورد بررسی قرار می دهیم، که nil(r) اعضای پوچتوان است.

فرض کنیم r یک حلقه باشد. در این پایان نامه ابتدا به بررسی انواع مختلف حلقه های منظم می پردازیم سپس به معرفی و مطالعه مقدماتی گروه حلقه ها پرداخته و خاصیت منظم بودن را در گروه حلقه ها بررسی می کنیم و در ادامه حلقه ‎های قویاً منظم جابجایی پذیر را معرفی و به بررسی خواص این نوع حلقه ها و ارتباط آن با سایر حلقه ‎های منظم پرداخته ایم و نشان میدهیم حلقه ای با این ویژگی،‎ ?- منظم، قویاً ?- منظم و منظم جابجایی پذیراست .در نهایت به مطالعه ساختار خودتوانها در حلقه های قویاً منظم جابجایی پذیر می پردازیم وگروه حلقه های قویاً منظم جابجایی پذیر را بررسی می کنیم.