همکاری میان موجودات عاملی است که می تواند بقا و تکامل آن ها را تضمین کند. با پذیرش این موضوع به راحتی می توان چگونگی ایجاد ساختارهای پیچیده ی زیستی را درک کرد. تک سلولی ها با قرارگیری در کنار هم و کمک به بقای یکدیگر می توانند موجودات کامل تر و مقاوم تری را ایجاد کنند. یکی از اولین نظریات معتبر تکامل که توسط داروین مطرح شد سه اصل اساسی دارد؛ تعداد فرزندان یک گونه بیشتر از والدین است، جمعیت طبیعی یک گونه ثابت است و فرزندان با والدین و با یکدیگر تنها در تعداد کمی از خصیصه های وراثتی تفاوت دارند. با توجه به این اصول از میان فرزندان آن تعداد که سازگاری بیشتری با محیط داشته باشند، نجات می یابند. به این پدیده انتخاب طبیعی گفته می شود. درک چگونگی شکل گیری همکاری میان موجودات اهمیت دارد زیرا در تضاد با انتخاب طبیعی است. در میان افراد یک گونه هم تمایز ،برتری و ضعف مشاهده می شود؛ در این صورت چرا افراد قدرتمندتر باید به بقای سایرین کمک کنند؟ در واقع توصیف چگونگی ایجاد همکاری، هنوز هم مسأله چالش برانگیزی است. در سال ‎1971 یک زیست شناس فعال در زمینه ی تکامل به نام رابرت تیریورس به مدلی ساده از برهمکنش دو موجودیت مستقل اشاره کرد که به نظر به توجیه این رفتار نوع دوستانه مربوط بود. در این برخورد هرچند همکاری طرفین درگیر بسیار سودمند بود اما در نهایت آن ها به سوءاستفاده متقابل کشیده می شدند.این برخورد در واقع برهم کنشی معروف در نظریه ی بازی است که توسط دو ریاضیدان به نام های مریل فلود و ملوین درشر معرفی شد و سپس ریاضیدانی به نام آلبرت تاکر آن را فرمول بندی کرد و نام معمای زندانی را بر آن نهاد. برهم کنش هایی مانند معمای زندانی در قالب یک نظریه ی مدون به نام نظریه ی بازی بررسی می شوند. پایه ی مطالعات نظریه ی بازی منطق است. اما هرگاه نظریه ی بازی را برای توصیف تکامل استفاده کنیم و عنصر منطق را از آن حذف کرده و تحولات را با توجه فراوانی نسبی گونه ها در جمعیت بررسی کنیم، وارد حوزه ی نظریه بازی تکاملی می شویم. به بیان دیگر نتیجه ی یک بازی در این نظریه، تابع تعداد افرادی از جمعیت است که به عنوان یک گونه ی مستقل وارد بازی می شوند. تا کنون روش های متنوعی برای تغییر بازی پیشنهاد شده است که همگی مکانیزم هایی را برای مرجح کردن همکاری یا نوع دوستی شامل می شوند. مدل منابع محدود، یکی از این مدل ها است. در این مدل فرض می شود که هر بازیکن عددی را با خود حمل می کند که تنها به وی تعلق دارد و آن را منبع بازیکن می نامند. در هر برهم کنش این منیع میان بازیکنان انتقال می یابد و یا به سبب بهره ای که از محیط اطراف به آن ها می رسد بر آن افزوده می شود. هرگاه این منبع به مقدار مشخصی برسد فرد فرزندی به جمعیت اضافه می کند که همه ی مشخصات آن مشابه مشخصات خودش، یعنی شخص والد، است. هم زمان با این رخداد والد منبع خود را با فرزند نصف می کند. نشان داده شده که با در نظر گرفتن این منیع و وارد کردن مرگ و میر در جمعیت می توان به حالتی دست یافت که همکاری در جمعیت پایدار بماند. حالت پیچیده تر بازی ها هنگامی رخ می دهد که نقاط یک گراف، بازیکنان بازی ها باشند. در این صورت تنها بازیکنانی که با یکدیگر از طریق یالی ارتباط داشته باشند مجاز به بازی با یکدیگر هستند. نظریه ای که این مطالعات در چهارچوب آن بررسی می شود، نظریه ی تکاملی گراف نامیده می شود. در این تحقیق مدل منابع محدود روی یک شبکه ی خاص، شبکه ی بی مقیاس، بررسی شده و نتیجه ی به کارگیری شبکه در تقویت مدل در عمل، از طریق شبیه سازی، مشاهده می شود.

پدیده های خاصی که مواد دارای دستگاه همبسته ی قوی از خود به نمایش می گذارند مانند ابررسانایی در دمای بالا، گذار فاز فلز-عایق و ... ما را بر آن داشت تا در این پایان نامه به مطالعه بر روی این دستگاه ها بپردازیم و به طور خاص گذار فاز فلز-عایق مات را در این دستگاه ها مورد بررسی قرار دهیم. از آنجاییکه الکترون ها در این مواد اغلب از نوع الکترون های برهمکنشی هستند و ساختار لایه ایی این اربیتال ها منجر به برهمکنش الکترون-الکترون (کولنی) قوی در آنها می شود، مدل هایی همچون مدل نواری و الکترون مستقل برای بررسی آنها با مشکل مواجه می شوند، از اینرو برای بررسی آنها از مدل هابارد که شامل جملات پرشی و برهمکنشی بین الکترون ها است استفاده کردیم. از طرفی از آنجاییکه رهیافت ما برای بررسی گذار مات در این مواد نظریه ی میدان میانگین بود، که در آن ساختار شبکه ایی به دو قسمت جایگاه اختلالی و بستری از سایر جایگاه ها که اثر آن به صورت یک میدان میانگین در برهمکنش با جایگاه اختلالی در نظر گرفته شده، تقسیم می شود، بهتر دانستیم تا هامیلتونی اختلالی اندرسون را مورد استفاده قرار دهیم . در این مسیر با استفاده از ماتریس هامیلتونی اختلالی اندرسون و تابع گرین ، تابع چگالی حالت ها در شبکه ی مربعی دو بعدی را ابتدا برای یک جایگاه اختلالی و دو جایگاه از بستر که در همسایگی اول این جایگاه بوده و با آن در برهمکنش است و سپس برای یک جایگاه اختلالی و چهار جایگاه از بستر که در همسایگی اول جایگاه اختلالی قرار داشتند حساب کردیم. با رسم نمودار تابع چگالی حالت ها گذار مات برای این شبکه به دست آمده با نتایج سایر رهیافت ها مورد از جمله نظریه ی میدان میانگین دینامیکی، نظریه ی میدان میانگین دینامیکی سلولی و ... که در فصل سوم این پایان نامه به آنها اشاره کرده ایم مورد مقایسه ی اجمالی قرار گرفت. در انتها با اضافه کردن چهار همسایه ی دوم جایگاه اختلالی محاسبات را گسترش داده و نتایج به دست آمده در قالب نمودار چگالی حالت ها برای مقادیر مختلف قدرت برهمکنش به نمایش گذاشته شد.

بررسی خواص جامدات همیشه مورد توجه بوده است، در این بین به خصوص بررسی رفتار بلورها مورد توجه ویژه بوده است. نکته ای که باید مد نظر داشته باشیم این است که برای بررسی یک شبکه ی بلوری در ابتدا ما نیاز به مدل سازی ریاضی داریم به این معنی که با تعریف شبکه به عنوان یک شبکه ی نقطه ای سه بعدی موازی از نقاط اکنون ساختاری داریم که می توان روی آن اتم ها مولکول ها یا یون ها را سوار کرد. در این بین استفاده از سیستم های همبسته ی قوی برای بررسی بلورها بسیار حائز اهمیت هستند. در سیستم های هبسته ی قوی برخلاف نظریه ی نواری که از برهمکنش های الکترونی صرف نظر می کند و باعث می شود که نتوانیم توصیف مناسبی از رفتارهای بلوری را بدست دهیم، این برهمکنش ها را در نظر می گیرد. یکی از مدل های بسیار جالب و مورد توجه در سیستم های همبسته ی قوی مدل هابارد است که در آن علاوه بر جملات مربوط به جهش درون نواری الکترون ها برهمکنش های محلی الکترون های درون یک اوربیتال را که همان برهمکنش های کولنی هستند را در نظر می گیرد. با استفاده از هامیلتونی هابارد در نظریه ی اختلال خوشه ای که در آن شبکه ی بلوری به ابرشبکه ای از خوشه های یکسان تقسیم می شود و می توان تابع گرین خوشه ها را با استفاده از آلگوریتم لنکسوز به دست آورد، تابع گرین اختلال خوشه ای را حساب می کنیم. از این تابع برای محاسبه ی بسیاری از کمیت های فیزیکی بهره برده می شود، که از آن جمله می توان وزن طیفی را نام برد. در این پایان نامه قصد داریم با استفاده از نظریه ی اختلال خوشه ای و با بهره گیری از هامیلتونی هابارد وزن طیفی را به دست آوریم، در این بین از آلگوریتم لنکسوز برای محاسبه ی تابع گرین بهره خواهیم برد. باید توجه داشت که آلگوریتم لنکسوز روشی تقریبی بر پایه ی تکرار است که در آن در هر مرحله تنها نیاز به نگهداری سه حالت الکترونی داریم. در نهایت باید این نکته را نیز خاطر نشان کرد که مدل هابارد این مشکل را دارد که برای خوشه های با تعداد جایگاه های کم قابل استفاده است، زیرا برای تعداد جایگاه های بالا به لحاظ عملی با مشکل کمبود حافظه روبرو هستیم.

در سالهای اخیر سلولهای خورشیدی در مقوله تامین انرژی مورد توجه ویژه قرار گرفته اند.به طور خاص سلولهای خورشیدی چنداتصالی شامل چاه کوانتومی، نقطه کوانتومی و نانولوله ها در کانون بررسی قرار گرفته اند. یکی از دلایل آن، ظرفیت قابل توجه این سلولها در افزایش بهره است. فرآیند اصلی در یک سلول خورشیدی چاه کوانتومی شامل بازترکیب و ترابرد است. تونل زنی تشدیدی یکی از عوامی موثر در ترابرد است. این سلولها از دو قسمت اصلی هادی ها و قطعه مرکزی، که هر دو شامل لایه های اتمی اند تشکیل شده اند. در این پژوهش قصد داریم فرآیند تونل زنی تشدیدی در این دستگاه ها را با استفاده از نظریه اختلال تابع گرین غیرتعادلی مورد بررسی قرار دهیم. این مسئله رامی توان در قالب کوانتش دوم با هامیلتونی که شامل بخش های پرش بین جایگاهی و برهمکنشی است، نمایش داد. ما از مدل تنگابست تک نواری استفاده می کنیم. ابتدا در نمایش ماتریسی هامیلتونی دستگاه را که شامل انرژی جنبشی، ساختار نواری و پتانسیل هارتری است، نوشته و سپس با استفاده از معادلات حرکت در حالت مانا توابع گرین را محاسبه می نماییم. سپس با حل کلاسیکی معادله پواسون تغییرات پتانسیل هارتری در هر لایه را به دست می آوریم. سپس با وارد نمودن چاه کوانتومی یگانه و چاه کوانتوی دوگانه متقارن کمیتهای مورد اشاره را به دست می آوریم. نتایج محاسبات نشان می دهد با اضافه نمودن چاههای کوانتومی، چگال محلی حالتها در ناحیه چاه جایگزیده تر می شوند. نحوه تغییرات چگال جریان نشان می دهد که در دیود معمولی نحوه تغییرات چگالی جریان غیرخطی می باشد. با اضافه نمودن چاه کوانتومی یگانه، در ولتاژ بایاس 0/11 تشدید رخ می دهد. در ادامه با قرار دادن دو چاه کوانتومی متقارن اولین بیشینه جریان در 0/019 ولت و دومین آن در 0/059 ولت مشاهده شد.

چکیده بسیاری‎ از شاخه های فیزیک حالت جامد به این موضوع پرداخته می شود که چگونه انواع مختلف نظم از برهم کنش بین اجزای تشکیل دهنده ی مواد حاصل می شود. حالت های دارای نظم مانند: بلور‏، مغناطش‏، ابرشاره از شکست تقارن شناخته می شوند. ‏از‎ سال ‎1982‎‎ شاخه های جدیدی از ریاضیات که شامل هندسه ی کوانتومی و توپولوژی بودند‏، به فیزیک حالت جامد راه یافتند‏ و سبب پیدایش بینشی جدید و راه های تازه در فیزیک حالت جامد شدند. ‏یکی از آن ها کشف عایق های توپولوژیک شد. شاخه ی جدیدی از مواد‏‏، که دانشمندان علم مواد‏ را که سال ها این مواد را بدون توجه به این ویژگی مطالعه می کردند‏، حیرت زده کرد. در این شاخه از مواد نظم هندسی حفظ می شود. این نظم از تقارن وارونی زمان حاصل می شود. در این پایان نامه این دسته از مواد مطالعه شدند. در بیان ریاضی‏، شکل های فاقد گره‏، شکل های دارای توپولوژی بدیهی نام گذاری شده اند و شکل های گره‏ دار، شکل های با توپولوژی غیربدیهی نام گذاری شده اند. در مکانیک کوانتومی‏، هندسه با انرژی پیوند می خورد. تغییر شکل به صورت تغییر آدیاباتیک هامیلتونی و پیوستگی با فقدان شکاف انرژی پدیدار می شوند. توپولوژی یک حالت کوانتومی تا زمانی که شکاف انرژی پدیدار نشود‏، ثابت باقی می ماند. نقاط فاقد شکاف انرژی نقاطی هستند که تقارن وارونی زمان را حفظ می کنند و تبهگنی کرامرز در آن ها رخ می دهد. تقارن وارونی زمان یکی از مهم ترین تقارن های موجود در طبیعت است. قسمت داخلی عایق های توپولوژیک‏، عایق است و با شکاف انرژی در باند الکتریکی ظاهر می شوند‏، اما لبه ها و یا سطوح این مواد دارای حالت های بدون شکاف است که باعث رسانش در مرز سیستم می شوند. در این پایان نامه مدل هایی را در یک بعد و دو بعد معرفی می کنیم که در شاخه ی عایق های توپولوژیک قرار می گیرند و به منظور بررسی این مدل ها شناسه های توپولوژیکی که عایق های معمولی را از عایق های توپولوژیک و هم چنین عایق های توپولوژیک را از یکدیگر متمایز می سازد‏، مورد مطالعه قرار دادیم. یکی از معروف ترین این شناسه ها عدد چرن است. در سال 1988‎‎ هالدین مد‎‏لی پیشنهاد کرد که دارای توپولوژی غیر بدیهی بود. در این مدل اثر کوانتومی هال بدون وارد کردن میدان مغناطیسی ایجاد می شود و با شکست تقارن وارونی زمان همراه است. اثر کوانتومی هال برای گاز الکترونی دوبعدی در دماهای بسیار پایین و با وارد کردن میدان مغناطیسی بسیار قوی اتفاق می افتد. در این اثر برخلاف اثر هال عادی رسانندگی رفتار خطی با میدان مغناطیسی نشان نمی دهد. در این حالت رسانندگی رفتار پله ای از خود نشان می دهد که در این پایان نامه به طور مفصل توضیح داده شده است. مدل پیشنهادی او با نام های عایق های چرن و یا اثر کوانتومی هال غیر عادی نیز شناخته می شود. ‏شناسه ی توپولوژیکی در یک بعد فاز زاک نامیده می شود. فاز زاک تاکنون به صورت تجربی نیز محاسبه شده است. به این منظور پلیمر دو اتمی از اتم های روبیدیم که با هامیلتونی مدل رایس-ملِ مطابقت داشت مورد بررسی قرار گرفته شده است. در این پایان نامه بستگی این ناوردای توپولوژیک به مقدار انتگرال پرش الکترون را بررسی کردیم. همچنین شرط وجود حالت های مرزی در یک بعد را تعیین و تابع موج مرزی را به دست آوردیم.