فرض کنید g یک گروه آبلی موضعاً فشرده با اندازه هار و xیک فضای باناخ باشد. همچنین فرض کنید l^1 (g,x) فضای باناخ از توابع انتگرال پذیر بوخنر x - مقدار بر gباشد. ثابت خواهیم کرد که فضای عملگرهای پایا ، خطی و کراندار ازl^1 (g,x) را می توان با l(x,m(g,x))یکی در نظر گرفت، که در آن l(x,m(g,x) ) فضای عملگرهای خطی و کراندار ازx به توی m(g,x) است ( m(g,x) فضای اندازه های بورل منظمx - مقدار کراندار بر g می باشد). توجه داریم اگر a یک جبر باناخ نیمه ساده جابجایی، با همانی یکه باشد، در این صورتl^1 (g,a) نیز یک جبر باناخ خواهد بود. نشان خواهیم داد که فضای مضارب ،l^1 (g,a) یکریخت ایزومتریکی با m(g,a)است. همچنین نشان می دهیم که اگر بعد a بزرگتر از 1 باشد آنگاه عملگرهای پایا ازl^1 (g,a) وجود دارد که مضرب آن نیستند. به طور کلی اگر فرض کنید x یک a - مدول باناخ باشد، مضارب از یک جبر توابع a - مقدار به توی یک فضای توابع x - مقدار را مورد مطالعه و روابط یکریختی ایزومتریکی زیر تحت شرایط خاص مورد بررسی قرار می گیرد. ?hom ?_(l^1 (g,a) ) (l^1 (g,a),l^p (g,x) )?l^p (g,x) , 1<p<? ?hom ?_(l^1 (g,a) ) (l^1 (g,a),c_0 (g,x) )?c_0 (g,x) ?hom ?_(l^1 (g,a) ) (l^1 (g,a),l^1 (g,x) )?m(g,x) در نهایت فضای نرمدارa_p^q (g,a) را تعریف کرده و برخی از ویژگی های این فضا را ثابت می کنیم. به ویژه نشان می دهیم که فضایl^p (g,a) ?? _(l^1 (g,a) ) l^q (g,a) یکریخت ایزومتریکی باa_p^q (g,a) است. در انتها ویژگی p_p^q را تعریف کرده و نشان می-دهیم اگر g دارای ویژگیp_p^q باشد، آنگاه فضای مضارب ازl^p (g,a) بهl^(q^ ) (g,a^* ) ، یکریخت ایزومتریکی با دوگان فضای a_p^q (g,a) خواهد بود.

برای هر راس ‎u‎ وv از گرافg ‎، مجموعه یi[u‎, ‎v] ‎ شامل تمام راس هایی است که در مسیرهای ژئودتیک u-v ‎ از گراف g قرار دارد. اگرs زیر مجموعه ای از راس های گراف g ‎باشد، آنگاه i[s] ‎اجتماع تمام مجموعه های i[u‎, ‎v] ‎ برای u‎,‎v? s ‎است. مجموعه یs? v(g) ‎ یک مجموعه ی ژئودتیک است اگر i[s]= v(g) ‎.به کوچکترین اندازه ی مجموعه های ژئودتیک در گرافg ‎ عدد ژئودتیک گویند و با g(g) ‎ نشان می دهند. مجموعه ی ژئودتیک s?v(g) ‎ یک مجموعه ی ژئودتیک تام است اگر‎ g[s] ‎شامل راس تنها نباشد. به کوچکترین اندازه ی مجموعه های ژئودتیک تام در گراف‎ g ‎عدد ژئودتیک تام گویند و با g_t (g) ‎نشان می دهند. مجموعه ی ژئودتیک‎ s?v(g) ‎مجموعه ی ژئودتیک تام مهارشونده است اگرg[s] ‎ و g[v(g)-s] ‎ شامل راس تنها نباشند. به کوچکترین اندازه ی مجموعه های ژئودتیک تام مهارشونده در گراف‎ g ‎عدد ژئودتیک تام مهارشونده گویند و باg_{tr}(g) ‎ نشان می دهند. در این پایان نامه توصیف کاملی از گراف ‎‎‎g‎ ‎‎‎به طوری که دارای راس تکیه گاهی و راس سادکی نباشد و‎‎‎g_{tr}(g)=|v(g)|‎ ‎‏، را ارائه دادیم. همچنین شرط لازم و کافی را برای سه تایی(a‎, ‎b‎, ‎c) ‎ از اعداد صحیح به طوری که گراف همبند غیر بدیهیg ‎ برای ‎(i) a=g(g) ‎, ‎ b=g_{tr}(g) ‎, ‎ c=|v(g)| ; ‎(ii) a=g_t(g) ‎, ‎ b=g_{tr}(g) ‎, ‎ c=|v(g)| ; ‎(iii) a=rad(g) ‎, ‎ b=diam(g) ‎, ‎ c=‎g_{tr}(g)‎‎ قابل حصول باشد، بررسی می کنیم. سپس شرط لازم و کافی را برای g_{tr}(g)=n ‎شناسایی می کنیم همچنین به بررسی زوج‎ (a‎, ‎b) ‎از اعداد صحیح به طوری که گراف همبند غیر بدیهی g ‎برای a=g_{tr}(g) ‎, ‎ b=f_{tr}(g) ‎ قابل حصول باشد، می پردازیم و در نهایت برای سه تایی (a‎, ‎b‎, ‎c) ‎از اعداد صحیح به طوری که گراف همبند غیر بدیهی g ‎ برای a=g_{tr}(g) ‎, ‎ b=f_{tr}(g) ‎, ‎ c=|v(g)| ‎قابل حصول باشد‎‏‎، را بررسی می کنیم. کلمات کلیدی : عدد‎‎ ژئودتیک‏، عدد ژئودتیک تام‏، عدد ژئودتیک تام مهار شونده‏، عدد تحمیل کننده ی ژئودتیک‏، عدد تحمیل کننده ی ژئودتیک تام‏، عدد تحمیل کننده ی ژئودتیک تام مهارشونده.