الهام احمدی [جعفر امجدی
فرض کنید r حلقه چندجمله ایها با n متغیر روی میدان k بوده و i ایده آل منومیالی ازrباشد که همه مولدهای iدارای درجه یکسانی هستند . ایده آل منومیالi مجموعه مولد g(i) را یک ایده آل پلی مترویدال می نامند هرگاه به ازای هردو منومیال $~ x^{ u_{r}} = x^{ a_{1}} cdots x^{ a _{ n }} ~$ و $ x^{ u _{ t }} = x^{ b _{ 1 }} cdots x^{ b _{ n }} $ از$ ~gleft( i ight) ~ $ که درآن به ازای $ i $ ای $ a_{ i } > b_{ i } $ ،$~ j~ $ای موجود باشد به طوری که $ a_{j} < b_{j} $ و $ x_{j} left( dfrac{x^{u_r}}{x_i} ight) in g left( i ight) $. در این پایان نامه ضمن مطالعه موضعی سازی های ایده آلهای منومیال ، به بررسی حدس اینکه یک ایده آل منومیال ، پلی مترویدال است اگر و فقط اگر موضعی شده آن دارای تحلیل خطی باشد ، خواهیم پرداخت . با استفاده از نتایج بدست آمده توسط هرزق و هیبی حدس فوق را برای برخی از ایده آلهای منومیال آزاد از مربع و برای رده جدیدی از ایده آلهای پلی مترویدال ثابت نموده و راه کارهایی برای گسترش برخی نتایج در مورد ایده آلهای پلی مترویدال ارائه خواهیم کرد .
محی الدین فلاحت سید محمود شیخ الاسلامی
مجموعه های احاطه گر موضوعی پرکاربرد و گسترده در نظریه ی گراف است که به صورت های گوناگونی تعمیم یافته است و امروزه در سطح وسیعی در دست مطالعه و بررسی است. یکی از انواع این تعمیم ها توابع احاطه گر رنگین کمانی است. تابع $f:v(g) ightarrow p({1, 2})$ را یک تابع احاطه گر 2-رنگین کمانی روی $g$ گویند هرگاه به ازای هر راس $vin v(g)$ با ویژگی $f(v)=emptyset$ تساوی $igcup_{uin n(v)}f(u)={1, 2}$ برقرار باشد. وزن یک تابع احاطه گر 2-رنگین کمانی به صورت $omega(f)=sum_{vin v(g)}|f(v)|$ تعریف می شود. کم ترین وزن یک تابع احاطه گر 2-رنگین کمانی روی $g$ را عدد احاطه ای 2-رنگین کمانی $g$ گویند و آن را با $gamma_{r2}(g)$ نشان می دهند. کم ترین تعداد یالی که می بایست زیرتقسیم شود (هر یال حداکثر یک بار) تا $gamma_{r2}(g)$ افزایش یابد را عدد زیرتقسیم احاطه ای 2-رنگین کمانی $g$ گویند و آن را با ${ m sd}_{gamma_{r2}}(g)$ نشان می دهند. % تابع احاطه گر 2-رنگین کمانی $f$ را ماکسیمال گویند هرگاه % مجموعه ی ${ vin v(g) | f(v)=emptyset }$ یک مجموعه ی احاطه ای نباشد. %کم ترین وزن ممکن برای یک تابع احاطه گر 2-رنگین کمانی ماکسیمال روی $g$ % را عدد 2-رنگین کمانی بیشینه $g$ گویند و با نماد $gamma_{mr}(g)$ %نشان داده می شود. تابع احاطه گر 2-رنگین کمانی $f$ را مستقل گویند هرگاه هیچ دو راسی که $f$ به آن ها مقدار غیر تهی نسبت داده است، مجاور نباشند. کم ترین وزن یک تابع احاطه گر 2-رنگین کمانی مستقل روی $g$ را عدد احاطه ای 2-رنگین کمانی مستقل $g$ گویند و آن را با $i_{r2}(g)$ نمایش می دهند. پارامترهای $gamma_{r2}(g)$ و $ i_{r2}(g)$ را قویاً مساوی گویند هرگاه هر تابع احاطه گر 2-رنگین کمانی روی $g$ با وزن $gamma_{r2}(g)$، مستقل باشد و می نویسند $gamma_{r2}(g) equiv i_{r2}(g)$. در این رساله با ارائه ی یک روش ساختاری، کلیه ی درخت ها و گراف های تک دور با ویژگی $gamma_{r2}(g)equiv i_{r2}(g)$ را دسته بندی و عدد احاطه ای 2-رنگین کمانی در آن ها را محاسبه می کنیم. در خصوص عدد زیرتقسیم 2-رنگین کمانی نیز ثابت می کنیم که برای هر گراف $g$ با بیش از سه راس، ${ m sd}_{gamma_{r2}}(g)le 3+min{d_2(v)mid vin v, ;{ mand}; d(v)ge 2}$ که در آن $d_2(v)$ تعداد راس هایی از $g$ است که در فاصله ی دو از $v$ قرار دارند. هم چنین ثابت خواهیم کرد ${ m sd}_{gamma_{r2}}(g)le n-delta+2$ و ${ m sd}_{gamma_{r2}}(g)lemax{gamma_{r2}(g),delta(g)}$. در ادامه حدس ${ m sd}_{gamma_{r2}}(g)leq gamma_{r2}(g)$ را بیان و درستی آن برای چند دسته از گراف ها را نشان می دهیم.