در این پایان نامه، ابتدا درجه ی آبلی گروه های حل پذیر را بررسی می کنیم. درجه ی آبلی گروه ‎‎‎‎، احتمال جابجایی دو عضو از گروه است که با نماد ‎‎‎pr(‎g)‎ نمایش داده می شود. فرض کنیم ‎‎‎‎h‎‎ و ‎‎‎‎k‎‎ زیرگروه های غیربدیهی ‎‎‎‎g‎‎ باشند و ‎‎‎‎g‎‎ عضو دلخواهی از ‎g‎‎‎ باشد. احتمال این که جابجاگر دو عضو دلخواه ‎‎‎‎g‎‎ که یکی از ‎‎‎‎h‎‎ و دیگری از ‎‎‎‎k‎‎ انتخاب می شود، برابر ‎‎‎‎g‎‎ شود را درجه ی آبلی تعمیم یافته می نامیم و با نماد ‎prg‎(h‎, ‎k)‎‎ نشان می دهیم. کران هایی برای ‎‎‎‎prg‎(h‎, ‎k)‎‎‎‎ به دست می آوریم. همچنین روابطی برای محاسبه ی ‎‎‎‎pr‎‎g‎(h‎, ‎g)‎‎ بر حسب سرشت های تحویل ناپذیر گروه ارائه می دهیم. در پایان، ‎‎‎ ‎prg‎(‎g)‎‎ را برای برخی گروه های خاص محاسبه می کنیم‎.‎‎

پیش بینی ها نشان می دهد سهم گاز طبیعی از مصرف انرژی جهان افزایش خواهد یافت و از یک پنجم در حال حاضر به یک سوم تا سال 2050 خواهد رسید. با توجه به این موضوع که کشور ما علی رغم برخورداری از ذخایر بالای گاز و سهم بالا از تولید، نه تنها صادر کننده گاز نیست بلکه وارد کننده گاز نیز شده است، پیش بینی مصرف گاز در سال های آینده می تواند دولتمردان را در داشتن برنامه ای منظم و دقیق برای بهبود چنین شرایط پیچیده کمک رساند. عوامل متعددی نظیر جمعیت، دما، تولید ناخالص داخلی (gdp)، استفاده از انرژی های جایگزین و ... بر مصرف گاز تاثیر گذار است که در این پروژه تاثیر دو عامل مهم جمعیت و تولید ناخالص داخلی بررسی شده است. در این پروژه ابتدا داده های متغییرهای موثر بر مصرف گاز یعنی جمعیت و تولید ناخالص داخلی(gdp) و مصرف گاز از سال 2012-1993 با استفاده از سایت های معتبر جمع آوری شده است. یافتن داده های صحیح، پیش پردازش و پس پردازش مناسب آن ها مهمترین بخش عمل پیش بینی است. در این پروژه ابتدا متغییرهای موثر بر مصرف گاز برای سال های آینده پیش بینی شده است. جمعیت و تولید ناخالص داخلی هر سال با استفاده از روش سری زمانی autoregressive پیش بینی شده و از آن ها جهت پیش بینی مصرف گاز استفاده شده است. مطالعات انجام شده حاکی از آن است که استفاده از سیستم هوشمند عصبی-فازی بهترین نتیجه را در پیش بینی حاصل مینماید. لذا از نرم افزار excel برای ذخیره سازی داده های مورد نظر و از نرم افزار matlab جهت خواندن داده ها و یافتن بهترین مدل عصبی-فازی جهت پیش بینی مصرف گاز در سال های آینده استفاده شده است. با استفاده از جمعیت و gdp پیش بینی شده برای هر سال، مصرف گاز در همان سال در نرم افزار matlab با استفاده از بهترین سیستم عصبی-فازی انتخاب شده، پیش بینی شده است.