در این پایان نامه ابتدا شرط برد پایدار $ n $ را معرفی کرده، سپس حلقه های تبادلی را تعریف می کنیم و شرایط لازم و کافی برای این که حلقه تبادلی $ r $، در شرط برد پایدار $ n $ صدق کند را بیان می کنیم. نشان می دهیم که حلقه تبادلی $ r $، در شرط برد پایدار $ n $ صدق می کند اگر و تنها اگر برای هرعنصر منظم $ ain r ^{n} $، عنصر تک پیمانه ای مانند $ u in r ^{n} $ وجود داشته باشد به طوری که $ au in r $ یک عضو گروهی شود اگر و تنها اگر برای $ a in r $ و $ b in m_{n} (r) $ که $ a sim _{n} b $، تک پیمانه ای های $ u in r ^{n} ~ , ~ v in ^{n} r $ وجود داشته باشند به طوری که $ a=ubv $ با $ uv=1 $.