isom+(h3) گروه ایزومتری های جهت نگهدار h3 یکریخت با گروه تصویری psl(2,c) و همچنین یکریخت با گروه تصویری pgl(2,c) از طریق نگاشت تناظر توسیع پوانکاره می باشد. هر زیرگروه ‎‎مانند ? از isom+(h3) ‎ که به طور ناپیوسته ویژه روی h3 عمل می کند، یک گروه کلاینی نامیده می شود. برای هر گروه کلاینی بی تاب مانند ?، اگر ?(?) را بستار مجموعه نقاط ثابت عناصر اریب ? در نظر بگیریم، آنگاه ?(?) کوچکترین زیرمجموعه بسته ناتهی ?-پایا است و همچنین ناحیه ناپیوستگی ?(?)=?c?(?) نیز بزرگترین زیرمجموعه بازی است که ? روی آن به طور ناپیوسته ویژه عمل می کند. فضای خارج قسمتی ?(?)/? مجهز به ساختار مختلط القا شده از ?(?) است به طوری که نگاشت تصویر ?(?) به ?(?)/? هلومرفیک است. بنابراین مولفه های همبندی ?(?)/? رویه های ریمان هستند. در سال 1964‎ الفرز قضیه ای بیان کرد به این صورت که اگر ? یک گروه کلاینی متناهی مولد باشد، آنگاه ?(?)/? اجتماع متناهی از رویه های ریمان است که هر یک از آن ها از نوع متناهی است به عبارتی هر یک از آن ها با حذف تعداد متناهی نقطه از یک رویه ریمان فشرده به دست آمده است. این قضیه به قضیه تناهی الفرز معروف است. او همچنین در قالب مقاله ای برهانی برای این قضیه ارائه داد‎. با این وجود، الفرز در برهان خود حالتی از حکم را که مربوط به کره های سه سوراخه می شد، از قلم انداخته بود. این نقص در سال 1967 توسط گرینبرگ شد. در این پایان نامه قصد داریم قضیه تناهی الفرز را به روش ساده تری از مقاله اصلی اثبات کنیم. در فصل اول پایان نامه به معرفی هندسه و مدل های هذلولوی و همچنین محاسبه ژئودزی ها و در نهایت ایزومتری های مدل های دو و سه بعدی هذلولوی پرداخته و همچنین گروه ایزومتری های جهت نگهدار h2 و h3 دقیقاً محاسبه می شود. فصل دوم نیز به معرفی و بررسی عمل گروه بر یک خمینه و تعاریف مرتبط و زیرگروه هایی از ایزومتری های جهت نگهدار h2 و h3 که به طور ناپیوسته ویژه روی این دو فضا عمل می کنند، اختصاص یافته است. در این فصل همچنین به تعریف فضای مداری و بررسی شرایط هاوسدورف بودن و ارتباط آن با نوع عمل گروه پرداخته و پس از تعریف خمینه های هذلولوی، نشان می دهیم فضای خارج قسمتی h3 با این گروه ها مجهز به ساختار خمینه هذلولوی است. همچنین با تعریف مجموعه نقاط حدی و ناحیه ناپیوستگی به دسته بندی این گروه ها به نوع اول و دوم پرداخته و به مطالعه و اثبات خاصیت هایی از این دو ناحیه می پردازیم. در انتهای این فصل نیز مثال هایی از ‎3-‎خمینه های هذلولوی بیان می کنیم که توسط گروه های کلاینی یکنواخت سازی می شوند. تعریف اُربیفلد و توضیح ویژگی های مختصر آن همچنین بیان قضیه تناهی الفرز و سپس اثبات آن در پنج مرحله، موضوع فصل سوم است. در مرحله اول اثبات نشان می دهیم که کافیست قضیه را برای آن دسته از گروه های کلاینی ثابت کنیم که متناهی مولد بوده و مولفه های همبندی فضای خارج قسمتی ?(?)/? انقباض پذیر می باشند. در مرحله دوم نیز قضیه را برای حالت خاصی از گروه های کلاینی ثابت می کنیم که در آن ? زیرگروهی از isom+(h2) و از نوع اول است. در مرحله سوم و چهارم نیز نشان می دهیم برای یک گروه کلاینی متناهی مولد مانند ? اگر ?0 مولفه ای از ?(?) و ?0 پایاساز متناظر آن باشد، ?0/?0 هم ارز همدیس با h2/?0 است که در آن ?0 زیرگروهی از psl(2,r) بوده و از نوع اول است. در آخرین مرحله نیز با استفاده از یک استدلال خاص نشان می دهیم تمامی مولفه های s(?)=?(?)/? از نوع همدیس متناهی بوده و همچنین تعداد آن ها نیز متناهی می باشد. ?