فرض کنید a و b دو جبر باناخ باشند. نگاشت ? از a بروی b را طیف- نگهدار گویند هرگاه، برای هر a از جبر a داشته باشیم؛ (a) ? = (?(a)) ?. به این سوال باز که از تحقیقات کاپلانسکی نشأت می گیرد و توسط آپتیت به این فرم در آمده است توجه کنید. آیا یک نگاشت خطی دوسویی طیف- نگهدار بین جبرهای باناخ نیم ساده یک دار لزوماً یک همریختی جردن است؟ حتی در مورد c* _ جبرها جواب ناشناخته است. در صورتی که می دانیم، در مورد جبرهای فون نویمان و در مورد جبرهایی از همه ی عملگرهای خطی کراندار روی یک فضای باناخ، جواب مثبت است. فرض کنید ?2(a) جبر شامل تمام ماتریس های 2×2 با درایه هایی که از جبر باناخ یک دار a می آید، باشد و b هم یک جبر باناخ نیم ساده یکدار دلخواه دیگری باشد. در این پایان نامه این مسأله برای نگاشت های خطی دوسویی ? از ?2(a) بروی b اثبات می شود.