برای حلقه ی جابه جایی و یکدار r، گراف مقسوم علیه صفر حلقه ی r، که با ?(r) نشان داده می شود، گرافی ساده است که رأس های آن همه ی مقسوم علیه های صفر نابهی r هستند و دو راس متمایز x و y مجاورند اگر و تنها اگر xy=0. در این پایان نامه رأس های برشی گراف مقسوم علیه صفر r را در حلقه های موضعی متناهی و حالت های غیر موضعی مورد مطالعه قرار می دهیم.