هدف از این پایان نامه بررسی شرایط لازم برای وجود یک اکسترمم برای مسائل تغییراتی کسری با شرایط مرزی کاملاً آزاد است. در اینجا شرایط لازم را برای مسئله ای با تنها یک متغیر وابسته ارائه می دهیم و ‏هم چنین شرایط تراگردی را برای زمانی که نقاط انتهایی در حالت تک متغیره بر روی یک منحنی دلخواه داده شده قرار دارد، به دست می آوریم. در ادامه نشان می دهیم که در موارد خاصی از قبیل مسائل تغییراتی کسری با شرایط مرزی معین و نامعین و مسائل با مشتقات مرتبه صحیح، نتایج جدید به شرایط لازم شناخته شده کاهش می یابد و در انتها شرایط بهینگی برای مسائل تغییراتی کسری فازی را که ابتدا توسط فرهادی نیا برای مسائل تغییراتی فازی ارائه شد، مورد بررسی قرار می دهیم.