قاب ها برای فضاهای هیلبرت توسط دافین و شیفردر سال ‎1952‎ تعریف شدند. آنها قاب را به عنوان ابزاری برای مطالعه سری های فوریه غیرهارمونیک، یعنی دنباله هایی به شکل {e^i ? n x}n ?z که ‎{?n}n ?z خانواده ایی از اعداد مختلط یا حقیقی است، استفاده می کردند. در سال ‎1986‎، قاب ها توسط دابوشی، گراسمان و مایر مجددا معرفی و گسترش یافتند. قاب ها شکل کلی از پایه های متعامد در فضاهای هیلبرت هستند. امروزه قاب ها در مطالعه پردازش سیگنال ها، پردازش تصویر، انتقال داده ها، کدگذاری، کدبرداری، سیستم های موبایل، شبکه های اطلاعاتی و اینترنت، اپتیک، فیلتر بانک و ... مورد استفاده قرار می گیرند. تعمیم های مختلفی از قاب ها در فضاها ی هیلبرت پیشنهاد شده است. برای مثال قاب های زیرفضایی ‎‎، قاب های مجازی برای زیر فضا ها ‎، شبه تصویرها ی کراندار ‎‎ و قاب های مورب ‎ اخیرا مورد استفاده قرار گرفته اند. ون چانگ سان مفهومی از همه -g قاب ها که شامل همه موارد ذکر شده است معرفی می کند. اعضای قاب ها معمولا بردارهایی از فضای هیلبرت هستند، در حالی که اعضای-g قاب ها عملگرها ی کراندار هستند. در ایران طی چند سال اخیر، مطالعاتی در زمینه قاب ها انجام گرفته که از آن جمله می توان به کارهای جناب آقای دکتر کامیابی (دانشگاه فردوسی مشهد) آقای دکتر رجبعلی پور (دانشگاه شهید با هنر کرمان ‎)‎، آقای دکتر دهقان (دانشگاه ولیعصر رفسنجان)، آقای دکتر فاروقی -آقای دکتر نژاد دهقان (دانشگاه تبریز)، آقای دکتر نجاتی-آقای دکتر نریمانی (دانشگاه محقق اردبیلی) و جناب آقای دکتر رحیمی در دانشگاه مراغه اشاره نمود. مطالب این پایان نامه در سه فصل ارائه می شود: در فصل اول مفاهیم اساسی و قضایای مورد نیاز در فصول بعدی، معرفی می شوند. در فصل دوم به معرفی قاب ها و پایه های ریس و –g قاب ها می پردازیم. در فصل سوم روشی را برای تخمین عملگر معکوس -‎g ‎ قاب ها که برای همه -‎g قاب ها کاربرد دارد ارائه می دهیم.