یک گراف را بدون پنجه گوییم هرگاه دارای رأسی نباشد که دارای سه همسایه ی دو به دو نامجاور باشد. در نگاه اوّل، این طور به نظر می رسد که انواع بسیار زیادی از گراف های بدون پنجه وجود دارد. به عنوان مثال، گراف های یالی، گراف بیست وجهی، مکمل گراف های منشوروار و گراف اشلفلی (یک گراف بسیار متقارن زیبا با ‎??‎‎ رأس) را می توان به عنوان نمونه هایی از گراف های بدون پنجه نام برد. به علاوه، اگر رئوس یک گراف را روی یک دایره مرتّب کنیم، سپس تعدادی بازه روی دایره انتخاب کرده و رئوس داخل بازه ها را به یک دیگر متّصل کنیم؛ گرافی که از این روش به دست می آید، بدون پنجه است. مثال های بسیار زیاد دیگری مانند گراف های گفته شده وجود دارند که به عنوان گراف های بدون پنجه ی ‎«اولیّه»‎ در نظر گرفته می شوند. در واقع، این امکان وجود دارد که بتوان یک قضیه ی ساختاری برای گراف های بدون پنجه ارائه کرد. سیمور و چادنووسکی در یک سری از هفت مقاله ثابت کرده اند که هر گراف بدون پنجه را می توان از یکی از گراف های بدون پنجه ی اولیّه و با استفاده از اعمال گسترشی ساده به دست آورد. در این پایان نامه، گراف های بدون پنجه را بررسی کرده، صورت دقیق قضیه ی رده بندی گراف های بدون پنجه و شمایی از اثبات آن را بیان خواهیم کرد. در آخر سعی می کنیم با استفاده از قضیه ی ساختاری ذکر شده، در مورد عدد رنگی گراف های بدون پنجه، نتایجی را ارائه دهیم.