مفهوم تابع تغییر فاصله توسط خان و همکارانش معرفی گردیده است. در این پایان نامه ابتدا مفاهیم تابع تغییر فاصله و گسترش هایی از آن چون, نگاشت های به طور ضعیف صعودی, به طور ضعیف نزولی و r-ضعیف تعویض پذیر را معرفی می کنیم. همچنین با مفهوم فضاهای g-متری آشنا می شویم. سپس با استفاده از این مفاهیم, قضایای جدیدی را در زمینه های نقطه ثابت مشترک, نقطه انطباق و نقطه ثابت نگاشت هایی که در شرط انقباضی جدیدروی فضاهای متری مرتب شده و همچنین نقاط ثابت مشترک نگاشت های r-ضعیف تعویض پذیر که در شرط انقباضی جدید روی فضاهای g-متری صدق می کنند, اثبات می کنیم. سرانجام کاربردهایی از این قضایا را ارائه می دهیم. همچنین مفهوم فضاهای متری مخروطی که توسط هانگ و ژانگ و مفهوم نقطه ثابت توأم که توسط چانگ و ما به دست آمده است را معرفی می کنیم و قضایایی در زمینه ی نقطه ثابت و نقطه ثابت توأم مربوط به ثابت قدم و همکارانش و قضایای اولاتینو در فضاهای متری مخروطی کامل را با شرایط انقباضی خاص روی نگاشت ها, ثابت می کنیم. سپس برهان های ساده که توسط مرادی برای این قضایا ارائه شده است را می آوریم.