با توجه به رشد روزافزون ریاضیات مالی و به خصوص قیمت گذاری قرارداد اختیار در چند دهه اخیر، دانشمندان بسیاری در این زمینه تحقیقاتی انجام داده اند که در واقع نشان دهنده تاثیر چشمگیر ریاضیات در امور مالی و اقتصادی است. تحقیقات در این زمینه از سال ‎$1880$‎ آغاز شده و تاکنون نیز ادامه دارد. در ابتدا مردم بر این باور بودند که ریاضیات و اقتصاد دو علم مجزا هستند و امور مالی را نمی توان در قالب علم و منطق ریاضی قرار داد؛ اما با گذشت زمان و پیشرفت علم، این نتیجه حاصل شده است که امور مالی و ریاضیات دو علم تفکیک ناپذیر و مکمل هستند. امروزه ریاضیات مالی به عنوان یک رشته مجزا در بسیاری از دانشگاه های دنیا رونق یافته و تدریس می شود. از جمله مباحث مهم در ریاضیات مالی مسئله قیمت گذاری اختیار است. در ابتدا قیمت گذاری اختیار به صورت تجربی و بدون محاسبات ریاضی انجام می شد؛ پس از معرفی مدل بلک-شولز توسط فیشر بلک، میرن شولز و رابرت مرتون، تحول بزرگی در امور مالی صورت گرفت. از آن پس سرمایه داران و کارگزاران برای داشتن سود بیشتر و معامله بهتر از ریاضیدانان استفاده می کردند. امروزه، ریاضیات مالی از جمله رشته هایی است که دارای اهمیت فراوانی در دنیا است و در مقایسه با سایر رشته ها، درآمد نسبتاً زیادی داشته و همچنان در حال پیشرفت است. ابتدا قیمت گذاری اختیار آمریکایی که دارای مرز آزاد است، معرفی و سپس با استفاده از تبدیل تثبیت پیشگیرانه و روش جریمه، مسئله قیمت گذاری اختیار آمریکایی حل می شود، در پایان با استفاده از تقریبات گویا پایداری خطی مسئله بررسی می گردد. در فصل اول به بیان تاریخچه ای از ریاضیات مالی، معرفی قیمت گذاری اختیار و انواع آن، تحلیل معادله بلک-شولز و شرایط مرزی مسئله قیمت گذاری اختیار را می پردازیم. در ادامه با توجه به آزاد بودن مرز مسئله قیمت گذاری اختیار آمریکایی، به بررسی مرز اعمال بهین برای اختیار خرید و فروش آمریکایی می پردازیم و در پایان فرمول قیمت گذاری اختیار آمریکایی را بیان می کنیم در فصل دوم به بیان روش های حل مسئله قیمت گذاری اختیار آمریکایی پرداخته و تقریبات گویا را برای بررسی پایداری معادلات دیفرانسیل خطی به کار می بریم. در فصل سوم با استفاده از تبدیل تثبیت پیشگیرانه مرز آزاد، مسئله قیمت گذاری اختیار آمریکایی را به دامنه ثابت تبدیل کرده و با استفاده از روش تفاضلات متناهی آن را حل می کنیم. در فصل چهارم با به کاربردن روش جریمه کران آزاد، مسئله قیمت گذاری اختیار آمریکایی را محدود کرده و با استفاده از روش خطوط، روش های چندگامی ضمنی و روش پیشگو-اصلاحگر ضمنی مسئله را حل می کنیم و سپس با استفاده از تقریبات گویا و تقریبات پاده، پایداری مسئله را بررسی می کنیم. در فصل پنجم روش های معرفی شده را برای اختیارهای اروپایی و اختیار دیجیتال و اختیار آمریکایی پیاده سازی می نماییم. لازم به ذکر است که همه برنامه های لازم با استفاده از نرم افزار ‎matlab 11‎ نوشته شده که به دلیل حجم زیاد، این برنامه ها به جای پیوست در آخر پایان نامه، در یک ‎cd‎ ضمیمه شده اند.