فرض کنید h یک مجموعه ی ناتهی باشد. در اینصورت هر نگاشت مانند o:h×h?p*(h) یک ابرعمل 2-تایی روی h نامیده می شود که در آن مجموعه ی همه ی زیرمجموعه های ناتهی h می باشد. h را یک ابرساختار می نامیم هرگاه به یک ابرعمل مجهز باشد. مفهوم ابرساختارها برای اولین بار در سال 1934 توسط مارتی ارائه شد. پس از آن دانشمندان متوجه شدند که ابرساختارها کاربردهای فراوانی در علوم محض و کاربردی دارند. همچنین مفهوم مجموعه های فازی در سال 1965 توسط لطفی زاده پیشنهاد گردید و این مفهوم ابزار توانمند و کارآمدی را برای توصیف رفتار سیستم های پیچیده ارائه نمود. در این پایان نامه مبانی ابرحلقه های فازی معرفی خواهد شد. سپس خواص مقدماتی این دسته از ساختارها مانند زیرابرحلقه های فازی و همریختی های بین ابرحلقه های فازی مورد مطالعه قرار خواهند گرفت. همچنین روابط بین ابرحلقه ها و ابرحلقه های فازی را نیز مورد مطالعه قرار می دهیم. ?

رای فابیلا مونروی و همکاران در (7) بصورت زیر به معرفی گراف نشان پرداخته اند. به ازای گراف g و عدد صحیح 1 ≤ k گراف نشان (fk(g گرافی است با مجموئه رئوس همه ی زیر مجموعه های k تایی از(v(g که در آن دو راس در (fk(g زمانی مجاورند که تفاضل متقارنشان یک زوج رأس مجاور در g باشد. در این پایان نامه به بررسی خواص از گراف نشان از جمله همبندی، قطر ، عدد خوشه ، عدد رنگی ، مسیر های همیلتنی ، و حاصلضرب دکارتی گراف نشان می پردازیم.

نظریه نوین ابرساختارهای جبری که تعمیمی از نظریه ی ساختارهای جبری کلاسیک (سنتی) است، امروزه به سرعت گسترش یافته و رشته های مختلف علوم را در بر گرفته است. در نظریه ی ابرساختارها بر خلاف جبر سنتی که همواره ترکیب دو عنصر از یک مجموعه، یک عنصر از همان مجموعه را می دهد، یک مجموعه ی ناتهی حاصل ترکیب دو عنصر از یک ابرساختار است. هدف اصلی این پایان نامه آوردن یک مثال فیزیکی از ابرساختارهای وابسته به فیزیک ذرات بنیادی لپتون ها است. ما این گروه مهم از ذرات بنیادی را در نظر می گیریم و نشان می دهیم که این مجموعه همراه با برهمکنش میانشان می توانند توسط ابرساختارهای جبری توصیف شوند.