در ابتدا به معرفی بُعد متناهی در نظریه‏ی حلقه‏های شرکت‏پذیر rبا توجه به ایده‏آل‏های دوطرفه‏ی آن می‏پردازیم. اگر rحلقه‏ای دارای بُعد متناهی روی ایده‏‏آل‏های دوطرفه باشد آنگاه ایده‏آل‏های یکنواخت?u_1،u?_2،…وu_n موجود درr را بدست می‏آوریم بطوریکه دارای جمع مستقیم و اساسی در r ‏باشند. عدد n مستقل از انتخاب ایده‏آل‏های یکنواخت u_i است و n را بُعد r می‏نامیم و با dim r1 نشان می‏دهیم. سپس فرض می‏کنیم r یک حلقه‏ی شرکت‏پذیر باشد‏((لزومأتعویض پذیرنیست))‏،‏‏‏‏‏‏‏ و به معرفی یک نوع جدید از گراف مرتبط به حلقه‏ی شرکت‏پذیر r که" گراف ایده آل اصلی" نامیده و با pig(r)2 نشان می‏دهیم پرداخته و برخی مثال‏های مرتبط را ارائه می کنیم، بعد از آن برخی روابط مهم پایه بوسیله ی حلقه‏ها وگراف‏ها درمورد ویژگی‏های حلقه‏ی ساده‏‏‏‏‏‏، گراف کامل، گراف اویلر وغیره را بدست می آوریم‏.‏ همچنین خواهیم دید که اگر r , sحلقه‏های یکریخت باشند آنگاه گراف‏های ایده آل اصلی مرتبط به آنها نیز یکریخت هستند،‏اما عکس آن درست نیست‏.‏ یک رابطه هم ارزی روی حلقه‏یr تعریف کرده و یک تناظر یک به یک بوسیله‏ی مجموعه‏ی همه‏ی کلاس‏های هم ارزی و مجموعه‏ی مولفه‏های همبند از pig(r) رابدست می آوریم.‏ سپس نظریه (تجزیه کامل همیلتونی)3را برا ی گراف کلی معرفی وثابت می‏کنیم در آنجا یک تجزیه‏ی کامل همیلتونی برای pig(r)وجود دارد.