استقلال متغیرهای تصادفی یکی از اساسی ترین فرض ها در اکثر تجزیه و تحلیل های آماری و مباحث کاربردی است.به عنوان مثال در برآوردیابی یا آزمون فرض ها لازم است نمونه ای تصادفی مستقل و از جامعه انتخاب شده و بر اساس اطلاعات این نمونه در مورد جامعه قضاوت و نتیجه گیری کرد. اما به دلیل روابطی که بین پدیده های طبیعی برقرار است، همواره چنین فرضی را نمی توان پذیرفت. در اینجاست که باید به دنبال جایگزینی این فرض با وابستگی بین متغیرهای تصادفی بود. برخی از انواع وابستگی ها، وابستگی مثبت و مفهوم پیوندی مثبت است. این نوع وابستگی ها کاربرد فراوانی در بسیاری از شاخه های علوم نظیر هواشناسی، پزشکی، بیمه و غیره دارند.

تحلیل داده های بقای سانسور راست و بریده شده از چپ در بسیاری از تالیفات آماری به چشم میخورد. اهمیت تحلیل این نوع داده ها از وسعت کاربرد آنها در عمل سرچشمه می گیرد که دربررسی های پزشکی در رایطه با بیماری هایی از جمله ایدز و دمانس کاربرد فراوان دارد. نکته ای که در مورد این چنین بیماری هایی پیش می آید، این است که زمان دقیق یا حتی تخمینی شروع بیماری در دست نیست و بیماران معمولا در اثر حادثه یا کاملاً اتفاقی متوجه بیماری خود می شوند چرا که بیماری هایی مانند ایدز یا تومورهای خوش خیم، مدت نسبتا زیادی در بدن فرد باقی می مانند تا به مرحله نمود خود برسند و نشانه های خود را آشکار سازند. حتی بیماری هایی نظیر دمانس که ممکن است اطرافیان زود به آن پی ببرند فرد از زمان شروع بیماری اطلاعی ندارد . موضوعی که کمتر به آن توجه می شود، اریب شدن نتایج حاصل از تحلیل این گونه داده ها می باشد، چرا که مشاهده می شود که افرادی که وارد نمونه می شوند، نسبت به بقیه افراد جامعه دارای طول عمر بیشتری هستند. این اریبی در اصطلاح، درطول اریبی نامیده می شود. حال در کنار داده های اصلی، متغیرهای کمکی نیز می توانند وارد مدل شوند. در این پایان نامه به بررسی چگونگی ورود و نیز نحوه تأثیر در طول اریبی بر متغیرهای کمکی پرداخته می شود. اما هدف اصلی، چگونگی رفتار با این متغیرها در برآورد پارامتری تابع بقا می باشد. در این راستا دو نوع تابع درستنمایی معرفی می شود و از روش درستنمایی ماکسیمم، پارامترها برآورد می شوند. این دو نوع تابع درستنمایی بر پایه دو دیدگاه معرفی می شوند. دیدگاه اول از نادیده گرفتن اطلاعات موجود در متغیرهای کمکی تأثیر می گیرد و تابع درستنمایی را شرطی بر روی آنها معرفی می کند. در دیدگاه دوم تابع درستنمایی به صورت توأم با متغیرهای کمکی تولید می شود. در پایان نتیجه می شود که این دو تابع درستنمایی در حجم نمونه زیاد، تفاوت چندانی با هم نداشته، حال آنکه در حجم نمونه کم، برآوردگرهای حاصل از تابع درستنمایی توأم کارایی بیشتری نسبت به حالت شرطی دارند.

در این رساله رفتار مجانبی منحنی لورنتس را مورد مطالعه قرار می دهیم. این منحنی برای اندازه گیری میزان نابرابری ثروت در جامعه استفاده می شود. در اقتصادسنجی اگر x را میزان درآمد در نظر بگیریم، بخشی از درآمد کل افراد جامعه است که در اختیار افراد کم درآمد جامعه قرار دارد. با استفاده از منحنی لورنتس بسیاری از اندازه های نابرابری درآمد تعریف می شوند. اما در اغلب مسائل آمار کاربردی و بویژه در داده های اقتصادی مشاهدات مورد بررسی مستقل نیستند و منطقی است که برخی از انواع وابستگی را بین داده ها در نظر بگیریم. در میان انواع مختلف وابستگی که در متون مورد استفاده قرار می گیرد -آمیزندگی یک شرط ضعیف و پرکاربرد می باشد و بسیاری از فرآیندهای تصادفی و سری های زمانی دارای این نوع وابستگی هستند. همچنین مدل هایی نظیر سانسور از راست، برش از چپ و اریبی در طول در داده های بقاء و اقتصاد سنجی کاربردهای فراوانی دارند و بطور گسترده در متون آماری مورد استفاده قرار می گیرند. در فصل دوم یک برآوردگر ناپارامتری برای منحنی لورنتس در داده های سانسور شده دارای وابستگی آمیزندگی قوی معرفی می کنیم و به بررسی ویژگی های مجانبی فرآیند لورنتس می پردازیم. در فصل سوم داده های برش از چپ و دارای وابستگی آمیزندگی قوی را در نظر می گیریم و ویژگیهای مجانبی فرآیند لورنتس را بررسی می نماییم. در نهایت در فصل چهارم به مطالعه ویژگیهای مجانبی فرآیند لورنتس در داده های در طول اریب خواهیم پرداخت.

در میان انواع مختلف وابستگی که در متون آماری معرفی شده اند ، وابستگی α-آمیزنده یکی از وابستگی های ضعیف بین متغیرهاست که عملا کاربردهای بسیاری دارد . بسیاری از فرآیندهای تصادفی و سریهای زمانی α-آمیزنده می باشند و به طور گسترده ای مورد مطالعه قرار گرفته اند. در مدل برش از چپ، اگر x ≥y آنگاه زوج متغیرهای تصادفی (x ,y) قابل مشاهده می باشند. یکی از پارامترهای مهم در این مدل (p(x ≥y است که احتمال برش نامیده می شود. برآوردگر احتمال برش با استفاده از متغیرهایα-آمیزنده معرفی می شود و خواص مجانبی آن بررسی خواهد شد . ثابت می شود که می توان این برآوردگر را به صورت مجموعی از متغیرهای تصادفی ?-آمیزنده نوشت. در ادامه قضیه حد مرکزی برای این برآوردگر ثابت خواهد شد. در مدل سانسور تصادفی، متغیر تصادفی x توسط متغیر تصادفی y از راست سانسور می شود هرگاه زوج مرتب (z,δ) مشاهده شوند، که در آن (z = min(x ,y و (δ= i(x ≥y. برآورد ناپارامتری توابع چگالی احتمال و نرخ خطر، با استفاده از مشاهدات هم توزیع یکی از مسائل بنیادی و مهم در استنباط آماری است که نقش بسیار مهمی در تشخیص مدل و الگوی احتمالی جامعه دارد. برای ارزیابی عملکرد برآوردگر هسته ای ، لازم است که اندازه ای برای فاصله بین تابع چگالی (نرخ خطر) واقعی و برآوردگر آن انتخاب کنیم. اندازه قطعی دقت برآوردگر هسته ای، معیار میانگین جمع بسته توان دوم خطاست . خواص مجانبی اندازه تصادفی نظیر این معیار برای برآوردگرهای توابع چگالی و نرخ خطر با استفاده از متغیرهای تصادفی α-آمیزنده بررسی خواهند شد.

د ر ا ین تحقیق به بررس‍ی خوا ص حد ی فرآ یند لورنتس د ر مد ل سا نسور را ست و برش چپ می پرد ا زیم . د ر مد ل برش ا ز چپ ، ا گر y≥x آ ن گا ه زوج متغیرها ی(y,x) قا بل مشا هد ه شد ن می با شند . د ر مد ل سا نسور تصا د فی ، متغیر تصا د فی x توسط متغیر تصا د فیy ا ز را ست سا نسور می شود هرگا ه زوج مرتب(δ,z) مشا هد ه شوند ، که د رآ ن (y≥x)i=δ و (y,x)nim=z. د ر غیا ب سا نسور، نتا یجی مشا به برا ی مد ل برش تصا د فی به د ست می آ ید. همچنین زما نی که هیچ مکا نیسم برشی وجود ند ا رد، به مد ل سا نسور تصا د فی یک بعد ی تبد یل می شود. تقریب قوی گوسی برا ی فرآ یند لورنتس تحت مفروضا ت منا سب ثا بت شد ه ا ست . قا نون لگا ریتم مکرر برا ی خم لورنتس به د ست می آ ید . د ر پا یا ن قضیه حد مرکزی را برا ی شا خص جینی متنا ظر به د ست می آ وریم .

نظریه همگرایی ضعیف اندازه احتمال بطور وسیعی در مطالعه الگوهای احتمال کاربردی به کار برده شده است . تاکنون بیشترین مورد استفاده ضعیف در نظریه صف می باشد، سیستم صف بندی gl/g1 در ترافیک سبک خاصیت مساعد بازگشت به وضعیت بیکاری زیاد رخ می دهد. هدف ما در این رساله کشف این ویژگی برای توسعه قضایای حدی برای فرایندهای زیادی که توسط این سیستم تولید می باشد، این فرایندها عبارتند از: wn: زمان انتظار مشتری nام. q (t): تعداد مشتریهای سیستم در لحظه t. w (t): زمان انتظار واقعی در لحظه t. b (t): مدت زمانی که سرویس دهنده در فاصله [o, t] مشغول است . i (t): مدت زمانی که سرویس دهنده در فاصله [o, t] بیکار است . d (t): تعداد مشتریهایی که در فاصله [o, t] سیستم را ترک کرده اند.