در این پایان نامه, ابتدا به مشبکه ی پیش ترتیب ها می پردازیم و نشان می دهیم, مشبکه ی ‎پیش ترتیب ها‎ تکمیل یافته هستند. سپس نشان می دهیم که هر پیش ترتیب ‎p, روی مجموعه ی شمارش پذیر ‎x در مشبکه ی پیش ترتیب ها مکمل ماکزیمال دارد. علاوه بر این اگر ‎p دارای مولفه ی بدیهی نباشد, آن گاه چنین مکمل ماکزیمال دارای طول زنجیر حداکثر دو است. با توجه به رابطه بین یک پیش ترتیب و توپولوژی ‎at‎, (توپولوژی که در آن اشتراک تعداد دلخواه از مجموعه های باز، بازند) این قضیه, برای مشبکه ی توپولوژی ها نتایج مشابهی دارد. به عبارت دیگر ما نشان خواهیم داد هر توپولوژی ‎at‎, بر یک مجموعه ی شمارش پذیر در مشبکه ی توپولوژی ها مکمل ماکزیمال دارد.