فرایندهای مارکوف تعیینی تکه ای کاربرد وسیعی در زمینه هایی همچون بیمه دارد اما تا کنون به ویژه در ایران چندان به آن پرداخته نشده است. در این پایان نامه قصد داریم روند بررسی این فرایند را با استفاده از اندازه شمارشی تصادفی طی کنیم تا منبع نظری غنی جهت استفاده پژوهشگران در مباحث کاربردی این فرایند نظیر بیمه و ریاضیات مالی فراهم کنیم. فرایندهای مارکوف تعیینی تکه ای از دو دیدگاه مورد مطالعه قرار گرفته اند. دیدگاهی که در این پایان نامه مورد توجه قرار گرفته بر پایه فرایند نقطه ای استوار است. در حالی که در بسیاری از منابع در دسترس، آنالیز تابعی اساس معرفی چنین فرایندی است. فرایندهای مارکوف تعیینی تکه ای، فرایندهایی هستند که علاوه بر دارا بودن خاصیت مارکوفی، در آن ها زمان وقوع رخدادها و موقعیت فرایند در زمان وقوع رخداد، تصادفی و روندی که فرایند بین دو رخداد متوالی طی می کند قطعی یا تعیینی است. جهت بررسی چنین فرایندهایی با فرایند نقطه ای، که مدلی احتمالی برای پراکنش تصادفی نقاط در فضای مورد نظر ماست، آغاز می کنیم. فرایندهای نقطه ای دو نوعند، برای مثال اگر در هنگام ثبت وقایع تنها زمان وقوع رخدادها را ثبت کنیم، فرایند نقطه ای ساده و اگر علاوه بر زمان، نوع یا نشان رخداد را نیز ثبت کنیم، فرایند نقطه ای نشان دار خواهیم داشت. در این پایان نامه ساختار و ویژگی های فرایندهای مارکوف تعیینی تکه ای با استفاده از فرایندهای نقطه ای مورد بررسی قرار گرفته است. ابتدا فرایندهای نقطه ای ساده و نشان دار و متناظر با آن ها، به ترتیب، فرایندهای شمارشی و اندازه های شمارشی تصادفی تعریف شده و ساختار و توزیع آن ها با استفاده از هسته های مارکوف بررسی شده است. سپس رابطه میان فرایند نقطه ای نشان دار و فرایند تعیینی تکه ای بیان شده است. در ادامه مفاهیمی همچون اندازه خطر، جبران گر، فرایند شدت، مارتینگل و انتگرال تصادفی معرفی شده اند. پس از بیان مفاهیم و تعاریف مورد نیاز و با بررسی شرایط مارکوف بودن فرایند تعیینی تکه ای، به بیان ساختار و ویژگی های فرایند مارکوف تعیینی تکه ای پرداخته شده است. در این مرحله هسته های مارکوف و احتمال های انتقال از اهمیت ویژه ای برخوردار هستند. در انتها مثالی از کاربرد فرایندهای مارکوف تعیینی تکه ای در محاسبه احتمال پاکباختگی مطرح شده است.

در رگرسیون کلاسیک و فضایی معمولا فرض می شود که داده های تحت بررسی نرمال هستند. اما در عمل با موارد متعددی مواجه می شویم که در توزیع داده ها شواهدی از چولگی یا سنگینی دم ها مشاهده می شود. در اینگونه مسائل، خانواده توزیع های آمیخته مقیاسی از چوله نرمال روش مناسبی برای مدلبندی داده ها فراهم می سازد. در این رساله با هدف ارائه مدل های جدید و انعطاف پذیر که با مشکلات مدل های موجود مواجه نباشد، ابتدا بر مبنای توزیع های آمیخته مقیاسی تعمیمی از مدل رگرسیون چوله اسلش معرفی و ویژگی های آن بیان می شود. این مدل نه تنها توانایی در نظر گرفتن چولگی را دارد بلکه با اختیار متغیرهای آمیزنده متفاوت برای هر مشاهده قادر است ناهمگنی موجود در داده های نامتقارن به دلیل حضور داده های دورافتاده را نیز در نظر گیرد و بعلاوه معیاری برای شناسایی آنها فراهم آورد. سپس به منظور تحلیل داده های فضایی، مدلی ناگاوسی تحت عنوان چوله گاوسی یکپارچه-لگ گاوسی بر مبنای توزیع آمیخته مقیاسی از چوله نرمال یکپارچه معرفی می شود. در ادامه بر اساس پیچشی از دو میدان تصادفی گاوسی و لگ گاوسی مستقل، یک مدل متغیر پنهان چوله چند متغیره پیشنهاد شده و برای تحلیل توام برآمدهای پیوسته و رسته ای مورد استفاده قرار می گیرد. سرانجام تعمیمی چوله از مدل های گرافیکی ارائه شده و بر اساس آن میدان های تصادفی مارکوفی چوله گاوسی تعریف می شود. مدل ها و روش های استنباط آماری آنها در مثال های شبیه سازی و کاربردی ارائه شده و عملکرد آنها مورد بررسی و ارزیابی قرار می گیرد.