فرض کنیدv مجموعه ای از نقاط در صفحه باشد. از یک نقطه دلخواه چهار شعاع خارج و چهار مخروط با زاویه قائمه ایجاد می کنیم.در هر مخروط نزدیک ترین نقطه را به عنوان یک یال به آن نقطه وصل می کنیم. این روند را برای تمام نقاط تکرار نموده، گرافی که با این روند به وجودمی آید گراف یائو با پارامتر چهار می نامند.معمولاً، گراف یائو با پارامتر چهار در فضای اقلیدسی را با y_4 و گراف یائو در l_&متریک را با y_4^& نشان می دهند. ضریب کشش (تاخیر) برای دو نقطه داده شده در گراف، برابر با نسبت کوتاه ترین نقطه درگراف، به فاصله اقلیدسی بین آن دو نقطه است. بیش ترین ضریب کشش برای هر زوج از نقاط مجزا در یک گراف را ضریب کشش آن گراف نامند. ضریب کشش در گراف های یائو اهمیت زیادی دارد؛ تاکنون در این زمینه مطالعات زیادی صورت گرفته، از جمله اینکه، گراف های یائوی با پارامتر (k>=9) دارای ضریب کشش حداکثر 1/cos(2p/k)- sin(2p/k) هستند. بهعلاوه y_4 در یک وضعیت خاص از نقاط دارای ضریب کشش حداکثر 4(2+sqrt 2) است. در این پایان نامه بررسی خواهد شد گراف یائوی y_4^& دارای ضریب کشش 8 است. همین طور گراف یائوی y_4 برای مجموعه متناهی از نقاط دلخواه درفضای اقلیدسی دارای ضریب کشش حداقل 8sqrt(2)(26+23sqrt(2)) است.

فرض کنید $ g $ یک گراف ساده همبند است. شاخص همبندی خروج از مرکز گراف مولکولی $ g $ به صورت $ xi^{c}(g)=sum_{{v}in{v(g)}}deg(v)ecc(v) $ تعریف می شود، که در آن $ deg(v) $ و $ ecc(v) $ به ترتیب درجه و خروج از مرکز رأس $ v $ می باشد. چند جمله ای همبندی خروج از مرکز گراف مولکولی $ g $، $ ecp(g,x) $، به صورت $ ecp(g,x)=sum_{vin{v(g)}}deg(v)x^{ecc(v)} $ تعریف می شود. بنابراین شاخص همبندی خروج از مرکز گراف مولکولی $ g $، برابر با مشتق اول $ ecp(g,x) $ به ازای $ x=1 $ است. ما در این پایان نامه ضمن بررسی ویژگی های شاخص و چندجمله ای همبندی خروج از مرکز، این دو اندیس را برای برخی از نانوساختارها محاسبه می کنیم.

گراف g را در نظر بگیرید که به هر یال آن مقدار مثبتی به عنوان ظرفیت نسبت داده شده است. برای دو رأس s و t از گراف ، s-t-برش s ، زیرمجموعه ای از رأس های g است که شامل s باشد اما شامل t نباشد و ظرفیت آن برابر با مجموع ظرفیت تمام یال های خروجی از s است. s-t- برشی با کمترین ظرفیت در میان تمام s-t- برش ها را یک s-t- برش کمینه می نامند. در این پایان نامه، الگوریتم های چندجمله ای برای شمارش تعداد s-t- برش های کمینه در گراف های مسطح مورد بررسی قرار می گیرند.

در این پایان نامه پوشش های هندسی نیرومند مورد مطالعه قرار می گیرد. فرض کنید f‎ یک تابع صعودی، مثبت و دلخواه، k>0 یک عدد صحیح و t>1یک عدد حقیقی باشد. گراف ‎ g=(v‎, ‎e) ‎ یک ‎-t پوشش -f(k) ‎نیرومند بر روی مجموعه نقاط ‎ v ‎ است، در صورتی که به ازای هر زیرمجموعه ی دلخواه ‎ s ‎ شامل k ‎ رأس از مجموعه رأس های ‎v ‎یک مجموعه ی s^+‎ از مجموعه رأس های ‎ v ‎ و شامل ‎ s ‎ به اندازه حداکثر ‎ f(k) ‎ وجود داشته باشد به طوری که بعد از حذف مجموعه رأس های ‎ s ‎ از گراف ‎g ‎، گراف ‎ g s ‎ یک ‎-t ‎پوشش بر روی ‎ v ? s?^+ ‎‎ باشد. برای نقاط روی خط حقیقی، نشان می دهیم به ازای هر ‎ f(k) ? (k log k) ‎، یک ‎-1 ‎پوشش ‎-f(k) ‎نیرومند با ‎ o (n log n) ‎ یال وجود دارد. همچنین نشان داده می شود که به ازای‎f ‎ های با رشد کمی بیش تر، می توان تعداد یال ها را کمی بهبود داد. در برخی حالات نشان داده می شود که نتایج بدست آمده حداکثر در یک ‎‎مقدار لگاریتمی با مقدار بهینه تفاوت دارد. در فضای حقیقی ‎-d ‎بعدی، نشان داده می شود که به ازای هر ‎f ‎، یک گراف ‎-o (k f(k)) ‎نیرومند با تعداد یال های‎ o (n f^*(n)) وجود دارد که f^* (n)‎ برابر با تعداد ترکیب تابع ‎ f ‎ با خودش است تا رشد آن به تابع خطی برسد. همچنین ثابت می شود که، ‎-tپوشش ‎-f(k) ‎نیرومند حداقل به ‎ ?(n f^*(n)) ‎ یال نیاز دارد. در نهایت مفهوم پوشش های بادوام که تعریف ضعیف تری نسبت به پوشش های نیرومند دارند تعریف شده و نشان داده می شود که با تعداد خطی یال می توان پوشش های بادوام ساخت.

چگونگی توسعه شبکه های اجتماعی و تغییرات ساختاری آن‏ ها یکی از موارد مورد بحث در مورد شبکه های اجتماعی است. چندین مدل برای پیش بینی ویژگی های شبکه های اجتماعی ارائه شده است‎. ‏‎‎در سال 2009 با در نظرگرفتن شبکه های ‏اجتماعی ایمیل و وب سایت ‎last.fm‎‎‏‏، مقایسه ای بین این مدل ها صورت گرفته است‏،‏ که با توجه به عدم فراگیری این شبکه ها، در این مقایسه کمبودهایی دیده می شود. این کمبودها تنها به فراگیری شبکه های اجتماعی محدود نمی شود‏، در پژوهش مذکور‏، دو داده ی جهان واقعی با ویژگی های تقریبا مشابه یعنی میانگین درجه و ضریب خوشه بندی تقریبا کوچک تشکیل می شد. اما با متراکم شدن شبکه های اجتماعی نظیر فیس بوک‏، توییتر و گوگل پلاس نیاز به بازنگری دوباره در این مقایسه احساس می شود. با ظهور این شبکه های متراکم با ضریب خوشه بندی بالا‏، عیب های مدل های ارائه شده برای شبکه های اجتماعی‏، بیشتر آشکار می شود.‎ در این پژوهش‏‏، بعد از معرفی دقیق هرکدام از مدل ها، با در نظر گرفتن شبکه اجتماعی برخط فیس بوک و وب سایت ویکی وُت این مدل ها پیاده سازی‏، مورد بررسی و مقایسه قرار گرفته اند. ‏در قسمت مقایسه نشان خواهیم داد‏، که اغلب این مدل ها توانایی شبیه سازی ویژگی های شبکه های اجتماعی را ندارند.

در این پایان نامه به مطالعه یک مسئله مربوط به طراحی شبکه های بی سیم با استفاده از آنتن های جهت دار پرداخته می شود. مسئله را به صورت مجموعه p از n نقطه در صفحه، هر یک متناظر با یک فرستنده و گیرنده مجهز به یک آنتن جهت دار با زاویه آلفا و شعاع r مدل می کنیم. نشان داده می شود که اگر $alpha = pi /3$ باشد آن گاه همیشه جهت یابی از آنتن های جهت دار با زاویه $alpha $ امکان پذیر است به طوری که گراف ارتباطاتی حاصل متصل باشد.