در این پایان نامه پس از بررسی روش های ضمنی جهت متناوب مبتنی بر روش هم مکانی طیفی چبیشف برای مسئله های سهموی خطی، به پیاده سازی این روش برای حل معادله غیرخطی برگرز دوبعدی پرداخته می شود.

این پایان نامه از چهار قسمت تشکیل شده است. در قسمت اول به معرفی حسابان کسری می پردازیم. در قسمت دوم توابع متعامد و انواع آن را معرفی کرده و تعاریف توابع بلاک پالس، چند جمله ای های لژاندر و ترکیب توابع بلاک پالس و چند جمله ای های لژاندر را بیان کرده و بعضی از خواص آن ها و همچین نحوه ی تقریب زدن توابع با استفاده از آن ها را بررسی می کنیم. در ادامه انواع ماتریس های عملیاتی مرتبه ی صحیح را تعریف کرده و برای توابع بلاک پالس، چند جمله ای های لژاندر و ترکیب آن ها انواع ماتریس های عملیاتی را به دست می آوریم. در قسمت سوم با استفاده از دو رویکرد ماتریس عملیاتی انتگرال مرتبه ی کسری ترکیب توابع بلاک پالس و چند جمله ای های لژاندر را به دست می آوریم. در ادامه برای به دست آوردن ماتریس عملیاتی مشتق مرتبه ی کسری توابع ترکیبی از تعریف مشتق مرتبه ی کسری کاپوتو برای ترکیب توابع بلاک پالس و چند جمله ای های لژاندر استفاده کرده و ماتریس عملیاتی مشتق مرتبه ی کسری توابع ترکیبی را به دست می آوریم. در قسمت چهارم روش توابع متعامد برای توابع ترکیبی را برای حل دو نوع از معادلات دیفرانسیل با مشتقات مرتبه ی کسری بیان خواهیم کرد. ابتدا معادلات دیفرانسیل خطی با چندین مشتق مرتبه ی کسری را در نظر گرفته و با استفاده از روش تاو و روش نقاط ترکیبی و همچنین ماتریس عملیاتی مشتق مرتبه ی کسری توابع ترکیبی به حل آن ها خواهیم پرداخت. سپس معادلات دیفرانسیل غیر خطی با چندین مشتق مرتبه ی کسری را در نظر گرفته و با استفاده از روش نقاط ترکیبی و ماتریس عملیاتی مشتق مرتبه ی کسری توابع ترکیبی به حل این دسته از معادلات می پردازیم. در انتها با استفاده از چندین مثال دقت و کارایی روش توابع متعامد برای توابع ترکیبی، در حل معادلات دیفرانسیل با چندین مشتق مرتبه ی کسری نشان داده می شود.

سیستم های تأخیری در بسیاری از شاخه های علوم و فنون کاربرد دارند، از این نظر آنالیز، شناسایی و کنترل بهینه این رده از سیستم ها از اهمیت بسزایی برخوردار است که در رده بندی مهمی از سیستم های کنترل جای می گیرند. پدیده هایی نظیر رشد جمعیت، شبکه های عصبی، خطوط انتقال، فرایندهای صنعتی و ... با استفاده از معادلات دیفرانسیل تأخیری مدل سازی می شوند. در بیشتر موارد فرآیند مربوط به پاسخ تحلیلی سیستم های تأخیری فوق العاده مشکل است، بدین لحاظ روش های عددی به خصوص در دو دهه ی اخیر مبتنی بر چندجمله ای های متعامد و چندجمله ای های تیلور و همچنین توابع متعامد مورد توجه بسیاری از محققین و مهندسین برای حل این گونه از سیستم ها قرار گرفته است‎. هدف این پایان نامه، استفاده از یک روش عددی موثر و کارا مبتنی بر توابع ترکیبی لژاندر-بلاک پالس برای آنالیز و شناسایی معادلات دیفرانسیل تأخیری چند گانه ی خطی و هم چنین کنترل بهینه ی سیستم های تأخیری چند گانه خطی با تابعی معیار درجه دوم است. ابتدا توابع ترکیبی لژاندر-بلاک پالس معرفی شده و سپس با استفاده از روش مستقیم و ماتریس های عملیاتی انتگرال، حاصل ضرب و تأخیر، سیستم تأخیری به یک دستگاه معادلات خطی تبدیل می شود که حل آن به مراتب ساده تر از حل مساله ی اصلی است. برای نشان دادن دقت، قابلیت و کارایی روش مذکور مثال های متعددی بیان می شود.

در این پایان نامه روش تقریب کمترین مربعات متحرک بهبودیافته مطرح شده و با روش تقریب کمترین مربعات متحرک مقایسه شده است. سپس روش های گالرکین بدون المان و گالرکین بدون المان بهبودیافته در حل برخی معادلات تحولی خطی و غیرخطی پیاده سازی و مقایسه شده اند.