فرض کنیم i یک ایده آل حلقه نوتری r باشد. منظور ما از ass(i) مجموعه ایده آل های اول وابسته r/i می باشد. برادمن قبلا نشان داده است که ass(ik)=ass(ik+1) برای k های بقدر کافی بزرگ، کوچکترین عدد k0 که در تساوی فوق صدق کند را اندیس پایداری و ass(ik0 ) را مجموعه پایایی ایده آل های اول وابسته i نامیم و با ass?(i) نشان می دهیم. از قضیه برادمن سوالات زیر بطور طبیعی مطرح می شود; 1-آیا کران بالایی برای اندیس پایداری فقط وابسته به r وجود دارد؟ 2-اگر r یک حلقه چند جمله ای و i یک ایده آل مدرج r باشد ، آیا ass?(i) قابل محاسبه است؟ 3-آیا عبارت زیر صحیح است؟ ass(i) ? ass(i2) ? …? ass(ik) ? … تمام سوالات فوق حتی برای ایده آل های تک جمله ای در یک حلقه چند جمله ای باز است. فرض کنیم ایده ال i در سوال سوم صدق کند، گوییم i در خاصیت پیوسته صدق می کند. هدف ما در این پایان نامه مطالعه مجموعه پایداری ایده آل های اول وابسته ایده ال های ماتریس وار چندگانه می باشد. نشان می دهیم ،ایده آل های ماتریس وار چندگانه دارای خاصیت پیوسته می باشند. اندیس پایداری و مجموعه پایداری ایده آل های اول وابسته مربوط به ایده آل های چندگانه عرضی و ایده آل های چندگانه از نوع ورونس را بطور واضح مشخص خواهیم کرد.