گراف جهت دار یک حلقه جابه جایی ‎‎گراف نمایش تصویری‏ ساختار جمعی و ضربی حلقه است. برای هر حلقه ی جابه جایی با استفاده از نگاشت ‎‎‎‎‎ (a , b)?(a+b , a.b) ‎می توان یک گراف جهت دار ترسیم کرد. با تأکید روی اطلاعات بدست آمده از گراف جهت دار حلقه، روی ویژگی های حلقه های جابه جایی بحث می کنیم. به علاوه رأس های ابتدا را در گراف جهت دار حلقه های جابه جایی‏، به خصوص گراف جهت دار حلقه های متناهی بررسی می کنیم و در نهایت گراف جهت دار حلقه های کاهش یافته را مورد مطالعه قرار می دهیم

ساختارهای جبری در سال های اخیر توسط گراف ها مطالعه شده اند که این مطالعات موجب سوالات و نتایج بسیاری شده اند. شاید در این بین، یکی از معروفترین گراف هایی که مورد مطالعه قرار گرفته است، گراف مقسوم علیه صفر یک حلقه است. در این پایان نامه، گراف کلی یک حلقه ی جابه جایی r که با t(?(r)) نشان داده می شود مورد بحث قرار می گیرد. راس های گراف کلی r، همه عناصر r بوده و دو راس متمایز x و y مجاورند اگر و فقط اگر x + y مقسوم علیه صفر باشد. ما به مطالعه دو زیرگراف t0(?(r)) و z0(?(r)) از گراف t(?(r)) می پردازیم که در آن ها مجموعه ی راس ها به ترتیب، مجموعه ی عناصر غیر صفر r و مجموعه ی مقسوم علیه های صفر r به جز صفر هستند. به عنوان مهمترین بخش هایی که در این پایان نامه به مطالعه آن خواهیم پرداخت، بررسی همبندی این گراف ها و محاسبه ی برخی از کمیت های گرافی مانند قطر، کمر و غیره است.

فرض کنید ?:x ?y نگاشت پیوسته ی پوشا بین فضاهای تیخونوف باشد. نگاشت ?، با عمل ترکیب یک همریختی یک به یک بین حلقه های توابع پیوسته حقیقی مقدار متناظر (c(x و (c(y، به صورت (c(y) ? c(x g ?go? القا می کند. به وسیله ی این همریختی (c(y را می توان به عنوان یک زیرحلقه از (c(x در نظر گرفت. در این پایان نامه ویژگی های متناهی توسیع حلقه (c(y) ?c(x را در رابطه با ویژگی های توپولوژیکی نگاشت ?:x ?y مورد بررسی قرار می دهیم. نتیجه ی اصلی این است که نشان می دهیم برای یک زیرمجموعه ی فشرده از r^n مانند x، توسیع (c(y) ?c(x انتگرالی است اگر و فقط اگر x به یک اجتماع متناهی از زیرمجموعه های بسته تجزیه شود، به طوری که ? روی هر یک از آن ها یک به یک باشد.

فرض کنیم r حلقه جابه جایی باشد. گراف کلی r را که باt(ᴦ(r) نشان داده می شود، گرافی است با همه اعضای r، به عنوان رئوس ودوراس x, y ∈ r مجاورند، اگروفقط اگرx + y ∈ z(r) ، که در آن (z(r مقسوم علیه های صفرحلقه r می باشد. گراف منظم حلقه r که با reg(ᴦ(r) نشان داده می شود زیرگرافی القایی از t(ᴦ(r) است که رئوس آن، عناصرمنظم حلقه r می باشد وگراف مقسوم علیه صفرحلقه r که با z(ᴦ(r)) نشان داده می شود، زیرگرافی القایی از t(ᴦ(r) است که رئوس آن عناصرمقسوم علیه صفرحلقه r می باشد. نشان می دهیم اگر t(ᴦ(r) گراف همبند باشد، آنگاه diam(reg(ال وارونه(r)≤ diam(t(ᴦ(r) . همچنین ثابت می کنیم که اگر rمتناهی باشد، آنگاه t(ᴦ(r)، گراف همیلتونی است. درخاتمه، نشان می دهیم که اگر s حلقه نوتری جابه جایی وreg(s) متناهی باشد ؛ آنگاه s متناهی است.