یکی از جنبه های بسیار مهم تحلیل های پارامتری طول عمر، تعیین توزیع طول عمر مناسب است. بیرنبام و ساندرز (1958) علاقه مند به یافتن مدلی برای توصیف زمان فرسودگی مواد بودند که ارتباط بین نمونه مواد و زمان فرسودگی آن را نشان دهد. آن ها مقاله ای تحت عنوان "خانواده جدیدی از توزیع های طول عمر" ارائه کردند و به همراهی گروهی از آماردانان مانند اساری و همکاران (1973) تحقیقات خود را در مورد این مدل ادامه دادند که منجر به معرفی و بررسی ویژگی های توزیع بیرنبام-ساندرز گردید. این توزیع طول عمر، توزیعی دو پارامتری بر اساس تحلیل های فیزیکی بود که از قضیه تجدید نشأت می گرفت. ایده این توزیع از تعداد سیکل های لازم برای فرسودگی ناشی از رشد ترک های مواد به وجود آمد و مبنای آن استدلال های فیزیکی برای خسارات تجمعی بود که باعث ایجاد فرسودگی مواد می شد . درحقیقت آن ها تعبیراحتمالی آن را به دست آوردند. دزموند (1958) این توجیه فیزیکی را با ساده تر کردن فرض های اولیه که توسط بیرنبام و ساندرز مطرح شده بود، تحکیم بخشید و به دنبال آن تحقیقات توسط جانسون و همکاران (1995) و دیگر محققین ادامه یافت. توزیع فرسودگی عمری که توسط آن ها مطرح شد مبتنی بر کل زمان و خسارات تجمعی وارد شده بر سیستم بود. این خسارات باعث افزایش دامنه ترک ها و کاهش آستانه تحمل مواد و در نهایت تخریب و فروپاشی آن ها می شد. درحقیقت، عمر فرسودگی یکی از دلایل اصلی تخریب فلزات و بتن های ساختمانی و یا در مواد مدرن فیبرهای کربنی به حساب می آید. چندین توزیع آماری برای توصیف داده های طول عمر فرسودگی به کار می رود اگر چه توافق نظری در رابطه با تأثیرگذاری بیشتر آن ها در تحلیل داده های فرسودگی وجود ندارد. از جمله آن ها توزیع های گاما، لگ نرمال، گوسین معکوس و توزیع بیرنبام- ساندرز است. در این پایان نامه سعی داریم به نحوه پیدایش توزیع بیرنبام- ساندرز و معرفی این توزیع بپردازیم. برخی از خواص مهم توزیع مانند تحلیل های طول عمر و رفتار تابع نرخ خطر را بررسی می کنیم. گشتاورهای توزیع بیرنبام- ساندرز را مطالعه خواهیم کرد و برآورد پارامترهای آن را مطرح می کنیم. همچنین این توزیع را با دیگر توزیع هایی که برای توصیف خسارات تجمعی به کار می رود، مقایسه می کنیم. توزیع بیرنبام-ساندرز بریده شده را معرفی کرده وکاربرد های آن را در ریسک های مالی بیان می کنیم سپس با استفاده از توزیع های بیضوی تراز و چوله-بیضوی تراز به معرفی تعمیم های مختلف توزیع بیرنبام-ساندرز می پردازیم و رفتارهای توزیع را در حالات خاص بررسی می کنیم. همچنین حالت دو متغیره و چند متغیره این توزیع را معرفی کرده و به استنباط هایی درخصوص پارامترهای آن ها می پردازیم. واژه های کلیدی: تابع خطر، توزیع طول عمر، توزیع های بیضوی تراز، توزیع های چوله، عمر فرسودگی