فرض کنید یک جبر باناخ دوگان با پیش دوگان باشد. جملات زیر را در نظر بگیرید (a) کن- میانگین پذیر است. (b) یک قطر اصلی نرمال دارد. (c) یک - دومدول انژکتیو است. برای همه ها مشخص شده است که (b)، (a) را نتیجه می دهد، نشان می دهیم که (c) همواره (b) را نتیجه می دهد در حالی که عکس آن برای ، که در آن گروه موضعا فشرده نامتناهی است، نادرست است. در پایان ما تعریف یک قطر اصلی نرمال را تغییر خواهیم داد و با این تعریف اصلاح شده، کن- میانگین پذیری، جبرهای باناخ دوگان را با استفاده از وجود مفهوم قطر اصلی نرمال، مشخص سازی خواهیم نمود. کلمات کلیدی : جبرهای باناخ دوگان، کن- میانگین پذیری، قطرهای اصلی نرمال، انژکتیویتی.

گوییم جبر باناخ a دوگان است اگر یک زیر مدول بسته a_* از a^* موجود باشد که a=?(a_*)?^*. رده جبرهای باناخ دوگان شامل تمام w^* جبرهاست و همچنین شامل تمام جبرهای m(g) برای گروههای موضعاً فشرده g و تمام جبرهای l(e) برای فضای باناخ بازتابی e است. ابتدا نشان میدهیم تحت شرایطی معین یک جبر باناخ دوگان میانگین پذیر، یک جبر باناخ ابر- میانگین پذیر و بنابراین متناهی البعد است. سپس دو مفهوم میانگین پذیری ، کن – میانگین پذیری و کن میانگین پذیری قوی را توسیع می دهیم که در آنها توپولوژی ضعیف ستاره را روی جبر باناخ دوگان قرار داده ایم. سپس میانگین پذیری جبر باناخ منظم آرنز a را به کن – میانگین پذیر قوی a^(**) نسبت می دهیم.

در این پایان نامه ابتدا در فصل اول تعاریف و قضایای مقدماتی مورد نیاز را بیان می کنیم سپس در فصل دوم به ارتباط میان میانگین پذیری جبر باناخ a و دوگان دوم آن یعنی جبر باناخ a^(**) می پردازیم و نشان می دهیم در حالت کلی میانگین پذیری جبر باناخ a^(**) ، میانگین پذیری a را نتیجه می دهد و نیز با اضافه کردن مفروضات دیگری به فرض میانگین پذیری ضعیف جبر باناخ a^(**) ، میانگین پذیری ضعیف a را نتیجه می گیریم. در ادامه میانگین پذیری مدولی را تعریف و بررسی کرده و برخی قضایای آن را مطرح می کنیم. نهایتاً در فصل سوم به دنبال این هستیم که از مدول میانگین پذیری ضعیف a^(**) مدول میانگین پذیری ضعیف a را نتیجه بگیریم. که این نتیجه گیری با اضافه کردن مفروضات دیگری به فرض میانگین پذیری ضعیف مدولی جبر باناخ a^(**) بدست می آید.

در این رسالهابتدا به معرفی نوع خاصی از میانگین¬پذیری تحت عنوان (? و? )- میانگین پذیری یک جبر باناخ ، که در آن ? و? همریختی¬هایی روی آن جبر باناخ هستند ،می¬پردازیم و روابط بین میانگین¬پذیری و (? و? )- میانگین پذیری را بیان می¬کنیم ، سپس با معرفی جبرهای باناخ گسترشیافته مدولی نقش آنها را در رفتار (? و? )- میانگین پذیری یک جبر باناخ مورد بررسی قرار داده و با استفاده ازآن یک شرط لازم و کافی برای (? و? )- میانگین پذیری یک جبرباناخ را بدست می¬آوریم.

قبلا فریم ها در فضای باناخ به صورت دنباله ای در فضای دوگان آن تعریف شده اند در این پایان نامه با تعریف یک نیم ضرب داخلی روی هر فضای باناخ آن را به یک فضای نیم ضرب داخلی تبدیل کرده و سپس فریم ها را به صورت دنباله ای در خود فضای باناخ نسبت به این ضرب داخلی تعریف می کنیم و همچنین قضایای کلاسیک در فریم ها و پایه های ریس را به فضای باناخ منتقل می کنیم و خواص آنها را بررسی می کنیم و عملگر های تجزیه و ترکیب و عملگر فریم را در این فضا معرفی کرده و به علاوه همانند تئوری موجک نظریه نمونه گیری را در این فضا تعمیم می دهیم و همچنین نشان می دهیم می توان هر فضای نرم دار را به بی نهایت روش می توان به بی نهایت روش می توان به یک فضای نیم ضرب داخلی تبدیل کرد و فریم ها را در فضاهای نیم ضرب داخلی تعریف می کنیم و سپس پایه های ریس را در این فضا معرفی می کنیم.

در این رساله ابتدا به بررسی قضایای نقطه ثابت برای نگاشت های ضعیف سازگار در فضاهای نوع متریک و نوع متریک مخروطی بدون نیاز به پیوستگی نگاشت ها می پردازیم. در ادامه، قضایای نقطه ثابت دوتایی و چهارتایی را برای نگاشت های ضعیف سازگار بیان و اثبات می کنیم. سپس وجود نقاط ثابت و نقاط ثابت سه تایی را برای ‎-t‎انقباض ها در فضای متریک مخروطی بررسی می کنیم. در این قسمت برای تضمین کاربردی بودن نتایج، مسائلی را در رابطه با وجود جواب برای یک مساله مقدار اولیه و معادله انتگرالی مطرح و حل می کنیم. در ادامه، نقاط ثابت و نقاط ثابت مشترک را تحت ‎-c‎فاصله در فضای متریک مخروطی به دست می آوریم. در انتها نتایجی از نقطه ثابت مشترک برای چهار نگاشت را در فضای متریک برداری ریس مقدار بیان می کنیم. در تمام رساله مثال هایی برای کارایی نتایج به کار گرفته شده است. همچنین، مقایسه ای بین نتایج به دست آمده و نتایج قدیمی به منظور نشان دادن اهمیت و تفاوت موضوع ارائه شده است.

قضایا نقطه ثابت اولین بار توسط هوانگ وژانگ در سال 2007 میلادی معرفی گردیده است وقضایا نقطه ثابت در این فضاها توسط خودشان برای اولین بارمورد بررسی قرار کرفت. این پژوهش ، توسیع کلی تری از فضاهای متریک به نام فضاهای متریک توپولوژیک برداری -مخروطی و مفهوم c-فاصله در یک چنین فضایی چون x معرفی شده. قضایای نقطه ثابت ونگاشت های روی آن مورد مطالعه قرار گرفته است .بویژه خواهیم دیدکه برخی حقایق شناخته شده در مبحث نقطه ثابت -مثلا قضایا نقطه ثابت از نوع کنان-حالت های خاصی از نتایج معرفی شده در این جا هستند. در انتها نقطه ثابت های مشترک دونگاشت تعریف شده روی یک فضای متریک توپولوژِیک برداری -مخروطی بطور جزئی مطالعه شده اند

در این پایان نامه به بررسی قضیه های نقطه ثابت در فضاهای متریک کامل می پردازیم. رده هایی از نگاشتهای غیرخطی را در نظر می گیریم که شامل رده نگاشت های غیر انبساطی مستحکم می باشند که مسئله تعادل را در فضای هیلبرت نتیجه می دهند. در بررسی قضایای نقطه ثابت روی نگاشت های غیر خطی ازقضایای نگاشت های غیر انبساطی، نگاشت های غیر توسیعی، نگاشت های هیبریدی،و قضایای نیم بسته در فضای هیلبرت استفاده می شود. بعلاوه، ما با قضیه های نقطه ثابت و قضیه های ارگودیک برای نگاشتهای غیرخطی سروکار داریم.

در این رساله ابتدا به معرفی میانگین پذیری جبرهای باناخ پرداخته و با استفاده از دنباله های کوتاه دقیق ساختار میانگین پذیری را روی دنباله ها مورد بررسی قرار می دهیم و سپس رابطه شکافندگی دنباله های کوتاه از u- مدولها را بامیانگین پذیری مطالعه می نماییم و در آخر به نقش واحد تقریبی کراندار در میانگین پذیری و شکافندگی دنباله های کوتاه دقیق پرداخته و یک سری روابط منطقی بدست می آوریم.

در این پایان نامه به بیان و اثبات قضایای ارگودیک غیر خطی برای نیم گروه پیوسته غیرمبسوط در فضاهای هادامارد می پردازیم. همچنین، یک قضیه همگرایی قوی برای حالتی که نیم گروه جابجایی باشد بیان می شود. نتایج بیان شده، قضایای استاندارد ارگودیک غیر خطی برای نگاشت های غیرمبسوط برروی فضاهای هیلبرت را به این دسته از نگاشت ها روی فضاهای هادامارد تعمیم می دهد که به عنوان مثال شامل مانیفلدهای کامل ریمانی و به طور ساده همبند(احتمالاََ با بعد نامتناهی) با خمینه نامثبت بخشی می شود.