یک دیفیومورفیسم هذلولوی جزئی حافظ یک انداز? هموار را روی یک منیفلد فشرد? هموار در نظر بگیرید. فرض کنید توزیع مرکزی این دیفیومورفیسم نسبت به یک برگ بندی با برگه های فشرد? هموار، انتگرال پذیر باشد. نشان می دهیم اگر مجموع نماهای لیاپونوف اش در امتداد مرکز آن روی مجموعه ای با انداز? مثبت، صفر نباشد این برگه ها خاصیت پیوستگی مطلق را ندارند‎.

در این پایان نامه شکافند‏ه های ایده آل های تک جمله ای مورد مطالعه قرار می گیرند. همچنین شرایطی را مطالعه خواهیم کرد که تحت آن شرایط اعداد بتی مدرج در یک ایده آل تک جمله ای بتوانند برحسب اعداد بتی مدرج ایده آل های کوچکتر محاسبه شوند، این شرایط تکمیل کننده روش شکافنده الیاهو-کرویر می باشد. به عنوان کاربردهایی از این مسأله نشان داده شده است که ایده آل های یالی گراف ها شکافتنی هستند. به علاوه روش دیگری را جهت محاسبه ی اعداد بتی ایده آل های پوششی گراف های دوبخشی کوهن-مکالی مورد بررسی قرار می دهیم. درحقیقت یکی از اهداف این پایان نامه یافتن پاسخ هایی است برای این که چه وقت یک ایده آل تک جمله ای یک شکافنده بتی دارد. یافتن چنین شرایطی ما را قادر می سازد که اعداد بتی مدرج ایده آل های تک جمله ای بیشتری را مطالعه کنیم.همچنین ما یک روش تکراری را برای محاسبه اعداد بتی مدرج از ایده آل های پوششی گراف های دوبخشی کوهن-مکالی توسعه می دهیم.