بنیوت مندلبروت در سال 1975 مقاله ای درباره خواص هندسی مجموعه ها با عنوان فراکتال منتشر کرد. از آن زمان تا کنون کاربردهای زیادی از فرکتال ها و بطور بسیار عام بعد فراکتالی در علوم مختلف کشف شده است. هندسه فراکتالی در تئوری اطلاعات، اقتصاد، پزشکی، علوم هواوفضا، طراحی سخت افزار، پردازش تصاویر و بسیاری از زمینه های دیگر علوم مهندسی و تجربی استفاده می شود. دراین پایان نامه به بیان و بررسی فراکتال، بعد فراکتال، انواع آن، خواص و تاثیر برخی ازعملگرهای ریاضی مانند اتحاد، اشتراک، ضرب دکارتی و تصویر روی مجموعه های فراکتالی خواهیم پرداخت. بطور کلی ادبیات این پایان نامه به نحوی پیش خواهد رفت که چگونگی تاثیر عملگرهای ریاضی مذکور روی بعد فراکتال را مشاهده کنیم.

الگوریتم های ریاضی زیادی در این حوزه مورد استفاده قرار گرفته اند‏، اگرچه که این روش های عددی‏، بسیاری از مسائل را با دقت مناسبی حل نموده اند، اما اغلب آن ها در مواجه با مسائل گسترده ای که دارای بهینه های محلی فراوانی هستند‏، دچار مشکل آشنای گیر افتادن در بهینه محلی می شوند. علاوه بر آن اغلب این روش ها دارای پیچیدگی های ریاضی زیادی هستند که استفاده از آن ها برای افرادی که اطلاعات ریاضی بالایی ندارند‏، سخت و در گاهی اوقات هم غیر ممکن خواهد بود و این یعنی تنها کسانی قادر به استفاده از این نوع از الگوریتم ها هستند که هم در زمینه طراحی روش های موثر حل(طراحی الگوریتم) و هم در زمینه تئوری ریاضیات و روش های حل عددی و مدل های ریاضی دارای تخصص باشند. مشکلات یاد شده از یک طرف و رشد سریع و چشمگیر الگوریتم های تکاملی از طرف دیگر‏، طراحان را به فکر استفاده از الگوریتم هایی کاراتر‏، قابل اطمینان تر‏ و محبوب تر(به لحاظ نیازمندی کمتر به اطلاعات ریاضی) نمود‏، و این یعنی استفاده از الگوریتم های تکاملی و اکتشافی در حل مسائل عددی ریاضی. در طول دهه گذشته برای غلبه بر نقص های محاسباتی الگوریتم های ریاضی، الگوریتم های تکاملی یا فرااکتشافی مانند الگوریتم ژنتیک و یا الگوریتم شبیه ساز سرد کردن فلزات ابداع شده اند. با این وجود، جستجوی الگوریتمی قدرتمندتر و موثرتر، هنوز هم یک چالش برای مهندسان است. hs ، الگوریتم جستجوی قدرتمندی برای یافتن جواب بهینه است. هارمونی به معنای هماهنگی است. در تولید یک موسیقی چندین موسیقی دان با سازهای مختلف با هم همکاری می کنند. هدف آن ها تولید یک موسیقی زیباست. در این روند همگی سعی می کنند در هر بار اجرای موسیقی‎‎‏، نت های مناسب تری انتخاب کنند، تا موسیقی بهتری ایجاد شود. در حقیقت زیبایی موسیقی در فرآیند تولید آن بهتر می شود. به طور کلی در فرآیند تولید موسیقی سعی می شود در هر مرحله از اجرا، موسیقی تکامل بیشتری داشته باشد، چنانچه در نهایت هماهنگی مناسبی بین نوازنده ها ایجاد شود.

قطعه بندی تصاویر پزشکی با هدف بخش بندی نواحی و ساختارهای آناتومیکی تصویر ولذا جداسازی اجزای مطلوب می باشد. روش های کامپیوتری قطعه بندی تصاویر همواره با چالش هایی مانند رزولوشن پایین و کنتراست ضعیف روبه رو هستند. وجود نویز و آرتیفکت این مشکل را تشدید می کنند.دراین پایان نامه که از خوشه بندی فازی استفاده شده است ، باعث بهینه سازی در ترکیب اطلاعات خواهد شد.خوشه بندی فازی به عنوان یکی از روش هایی است که عملکرد قابل قبولی در ناحیه بندی تصاویر پزشکی داشته است. در میان الگوریتم های فازی، الگوریتم fuzzy c-means)fcm) یکی از رایج ترین الگوریتم ها می باشد. با توجه به برخی از نواقص این روش استفاده از روش های تکمیلی و ترکیب با الگوریتم های فازی منجر به ارتقاء عملکرد آنها می شود. یکی از این روش ها، روش مجموعه سطح یا level set می باشد که از مرزهای متغیر دینامیک برای قطعه بندی استفاده می کنند.به همین ترتیب پارامترهای قطعه بندی مجموعه سطح به طور مستقیم از نتایج خوشه بندی فازی حاصل می شوند و این پارامترها کنترل خواهند شد .در این پایان نامه از الگوریتم ترکیبی جدیدی به منظور قطعه بندی تصاویر پزشکی تشدید مغناطیسی مغز و جبران نارسایی های هر یک از روش های فوق استفاده می شود که از ترکیب روش های فازی c-میانگین و مجموعه سطح به دست می آیند.به منظور بهبود عملکرد سیستم یک مرحله پیش پردازش که شامل یکسان سازی هیستوگرام و فیلترینگ است ، به الگوریتم افزوده شده است. نتایج ارزیابی حاکی از عملکرد مطلوب این روش را بیان می کند.

محاسبات کوانتومی به طور بالقوه قدرتمندتر از همتایان کلاسیک خود هستند. به طور خاص، برخی از الگوریتم های کوانتومی تسریع درجه دوم را ممکن می سازند که فرصت های جدیدی را برای محاسبات کوانتومی برای حل مسائل سخت، فراهم می کنند. مسائل سخت، معمولاً راه حل های کاندید زیادی دارند که جستجوی سریع برای جواب دقیق در بین آن ها، سخت است (در عمل غیر ممکن است). این چنین مسائل سختی در یک کلاس چند جمله ای غیر قطعی در نظریه پیچیدگی، کلاس بندی می شوند. بنابراین از محققان در این زمینه انتظار می رود جانشینی از الگوریتم های کوانتومی برای حل مسائل np وابسته به برهم نهی کوانتومی، که بررسی هم زمان همه وضعیت ها را ممکن می کند، داشته باشند. از طرف دیگر، در علم محاسبات یک روش اکتشافی، موثرترین روش برای حل مسائل np است. یک الگوریتم اکتشافی، به ما این توانایی را می دهد که تسریع محاسباتی را با پیدا کردن سریع یک راه حل تقریبی نزدیک به راه حل دقیق، بدست آوریم. این کار در واقع انگیزه و هدف بررسی این موضوع است. در این پایان نامه یک روش اکتشافی کوانتومی برای مسأله فروشنده دوره گرد بررسی می شود.

مسائل هدایت گرمایی معکوس یک نمونه بارز از مسائلی هستند که چندین پارامتر مجهول از جمله منابع گرمایی ساکن و متحرک، شرایط اولیه، شرایط مرزی و ... همزمان قابل تخمین می باشد. در این پایان نامه، به محاسبه ی شرایط مرزی می پردازیم.