در این رساله‏، با نظیر کردن دو گراف به حلقه های‏ جابه جایی‏، به مطالعه ساختار جبری ‏آن ها می پردازیم. فرض کنید ‎$‎‎‎r‎$‎‏ حلقه ای جابه جایی و یکدار بوده و ‎$‎‎‎mathb‎‎‎b{a}(r)‎$‎‎‏‏، ‎‏ ‎$‎‎‎max (r)‎$‎‏ ‎ ‎‎‎‎ و ‎‎$‎mi‎n (r)‎$‎ ‏ به ترتیب‏، مجموعه ایده آل های ‎$‎‎‎r‎$‎ با پوچساز ناصفر‏،‏ مجموعه ایده آل های ماکزیمال ‎$‎‎‎r‎$‎‏ و مجموعه ایده آل های اول مینیمال ‎$‎‎‎r‎$‎‏ باشند. ‎‏گراف جهت دار منظم ایده آل های ‎$‎‎‎r‎$‎‏ که با ‎$‎‎‎‎overrightarrow{‎gamma‎_{ eg }‎}‎(r)‎$‎‎‏ نشان داده می شود‏، گراف جهت داری است که هر رأس آن ایده آلی غیربدیهی است و به ازای هر دو رأس متمایز ‎$‎‎‎i‎$‎‏ و ‎$‎j‎$‎‏‏، ‎‎ کمانی از ‎$‎‎‎i‎$‎‏ به ‎$‎j‎$‎ وجود دارد اگر و تنها اگر ‎ ‎$‎‎‎i‎$‎‏ ‎‏شامل عضوی ‎$‎j‎$‎-منظم باشد.‎‎‎ همچنین‏، گراف زمینه این گراف جهت دار با ‎$‎gamma‎_{ eg }(r)‎$ ‏نشان داده می شود. به ازای هر حلقه آرتینی ‎$‎‎‎r‎$‎‏ نشان می دهیم $|{{max}}(r)|-1leqomega(gamma_{ eg }(r))leq |{{max}}(r)|$ و ‏‎$‎‎‎‎‎chi(gamma_{ eg }(r))=2|{{‎‎max}}(r)|-k-1‎$‎‏ که در آن $k$ تعداد میدان های ظاهر شده در تجزیه ‎$‎‎‎r‎$‎‏ به حلقه های موضعی آرتینی می باشد. ‏در دیگر نتایج‏، نشان می دهیم که گراف جهت دار ‎$‎‎‎‎overrightarrow{‎gamma‎_{ eg }‎}‎(r)‎$ همبند قوی است اگر و تنها اگر ‎$‎‎‎r‎$‎‏ یک دامنه صحیح باشد. همچنین این گراف جهت دار همبند ضعیف است اگر و تنها اگر ‎‎$|‎‎‎max (r)|geq 3‎$‏ و در تجزیه ‎$‎‎‎r‎$‎‏ به حلقه های موضعی آرتینی‏، حداقل یک میدان ظاهر شود. قطر و کمر گراف زمینه نیز (برای حلقه های آرتینی) مشخص خواهند شد. گراف ایده آل پوچ کن ‏متناظر با حلقه ‎$‎‎‎r‎$‎‏‏ که با ‎$‎‎‎‎mathbb{ag}(r)‎$‎‎‏ نشان داده می شود‏، گرافی ‏ساده است که مجموعه رئوس آن مجموعه ‎$‎‎‎‎mathbb{a}(r)setminus ‎{(0)}‎$‎‎‎ ‎‎ ‎‏است و دو رأس متمایز ‎$‎‎‎i‎$‎‏ و ‎$‎‎‎j‎$‎‏ مجاورند اگر و تنها اگر ‎$‎‎‎ij=(0)‎$‎‏. در این رساله‏، نتایجی در مورد اعداد خوشه ای و رنگی این گراف ثابت می شوند. نشان می دهیم که اگر ‎$‎‎‎r‎$‎‏ حلقه ای آرتینی باشد و ‎$‎‎‎omega(‎mathbb{ag}(r)‎)‎=2‎$‎‎‏‏، آنگاه ‎$‎‎‎r‎$‎‏ حلقه ای گرنشتاین است. همچنین حلقه هایی که گراف ایده آل پوچ کن آن‎‏ ها کامل یا دوبخشی هستند‏، را رده بندی می کنیم. در پایان ثابت می شود که به ازای هر حلقه‎‏ کاسته ‎$‎‎‎r‎$‎‎‏‏ داریم ‎$‎‎‎‎chi(‎mathbb{ag}(r))=omega(‎mathbb{ag}(r))=|min (r)‎|‎‎$‎‏.\

در این پایان نامه گرافی وابسته به مدول را ‏معرفی و بررسی خواهیم کرد.‎‎‎‎ ‏‎‎فرض کنید r حلقه ای جابه جایی با همانی ناصفر و m‎ مدولی بر روی حلقه r با زیرمدول سره ی ‎n‎ باشد. گراف جمعی از مدول ‎m‎ در ارتباط با زیرمدول ‎n‏‏،‎ با نماد ‎t(?n(m))‎ نشان داده می شود. در این گراف ساده‏، مجموعه رئوس تمام اعضای مدول ‎‎m‎‎‏ بوده و دو رأس‎m ‎‎ و‎m ‎ مجاورند اگر و تنها اگر ‎m+m ? m(n)‎، به طوری که ‎‏‎‎ ‎m(n)‎=‎{m ? m : rm‎ ‎? n, ? r ? r-(n:m)}. ‎ ‏در این متن به بررسی برخی ویژگی ها‎ی مفهوم‎m(n) ‎ خواهیم پرداخت‎;‎ سپس در دو حالت‏ گراف ‎t(?n(m))‎ را مورد مطالعه قرار ‎‏می دهیم‎ و همچنین‏ همبندی‏، قطر و کمر گراف مذکور ‏و‎‎‎ زیرگراف‏ های القایی از ‎‎m-m(n)‎‏ و ‎m(n)‎‎‏ را بررسی می کنیم. ‎‏این‎ دو حالت عبارتند از: 1)(m(n زیرمدول m باشد. 2)(m(n زیرمدول m نباشد.‎